Un desafío por semana

Abril 2017, tercer desafío

El 21 abril 2017  - Escrito por  Ana Rechtman
El 21 abril 2017
Artículo original : Avril 2017, 3e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 16 :

Doblamos una hoja de papel cuadrada $ABCD$ sobre sí misma de manera que el punto $A$ se encuentre en la mitad del segmento $BC$. ¿Cuál es el largo de $AX$ en función de $DY$?

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Solución del segundo desafío de abril:

Enunciado

La respuesta es $5$ pares.

Primero observemos que $x$ e $y$ no pueden valer $0$ o $5$.

La ecuación nos da:

$\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{x} = \dfrac{x-5}{5x}$

$y= \dfrac{5x}{x-5} = \dfrac{5x-25+25}{x-5}=5 + \dfrac{25}{x-5}.$

Como $y$ es un número entero, $\frac{25}{x-5}$ debe también serlo. Por lo tanto, $x-5$ divide a $25$, por lo que los posibles valores de $x-5$ son $\pm 1$, $\pm 5$ y $\pm 25$. Como $x\neq 0$, tenemos $x-5\neq-5$. Con los otros valores de $x-5$ obtenemos que $x$ puede ser $6$, $4$, $10$, $30$ o $-20$.

Cada uno de estos valores para $x$ nos da un valor de $y$ que satisface la ecuación. Los pares de soluciones $(x,y)$ son entonces: $(6,30)$, $(4,-20)$, $(10,10)$, $(30,6)$ y $(-20,4)$. Por lo tanto, hay $5$ pares que satisfacen la ecuación.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Abril 2017, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ROBERTO SORIN / SHUTTERSTOCK

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