Un desafío por semana

Abril 2019, cuarto desafío

El 26 abril 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 26 abril 2019
Artículo original : Avril 2019, 4e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 17

Hallar todos los números de tres cifras (todas distintas y diferentes de $0$) que sean iguales a la suma de todos los números de dos cifras que se puede formar con las cifras del número inicial.

Solución del tercer desafío de abril:

Enunciado

La respuesta es $6$.

La expresión $n^3 - n$ se factoriza en
\[n^3 - n = (n-1)n(n+1).\]
Así, todos los elementos de $A$ se escriben como producto de tres enteros consecutivos. Entre ellos, necesariamente hay uno que es múltiplo de $3$
y otro (que puede ser el mismo) que es par, por lo que su producto debe ser divisible por $6$.

Por lo tanto, todos los elementos de $A$ son múltiplos de $6$. Por otra parte, puesto que $A$ contiene a $6 = 2^3 - 2$, se deduce que el máximo común divisor de los elementos de $A$ es $6$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Abril 2019, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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