Un desafío por semana

Abril 2019, primer desafío

El 5 abril 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 5 abril 2019
Artículo original : Avril 2019, 1er défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 14

Hallar todos los enteros positivos $n$ y $m$ que verifican la ecuación
\[\dfrac 1m + \dfrac 1n - \dfrac 1{mn^2} = \dfrac 34.\]

Solución del quinto desafío de marzo:

Enunciado

La solución es: $\dfrac 7{13} \approx 0{,}538$.

Denotemos $\Pi$ el evento ’’la persona interrogada es un peor’’, de modo que el evento contrario $\overline \Pi$ es ’’la persona interrogada es un puro’’. De acuerdo al enunciado, se tiene $P(\Pi) = \frac 7{10}$.

Si $V$ es el evento ’’la persona interrogada ha dicho la verdad’’, el enunciado da las probabilidades condicionales $P\left(V\middle|\Pi\right) = \frac 1{20}$ y $P\left(V\middle|\overline \Pi\right) = \frac{9}{10}$.

Tratemos de calcular la probabilidad condicional $P\left(\Pi\middle|O\right)$, donde $O$ es el evento ’’la persona ha respondido afirmativamente a la pregunta’’. Observemos que el evento $O$ es la unión de los dos eventos incompatibles $\Pi \cap V$ y $\overline \Pi \cap \overline V$ (la persona responde afirmativamente si es un peor y dice la verdad, o si es un puro y miente). En particular, $\Pi \cap O = \Pi \cap V$. Se tiene entonces
\[ \begin{align*} P\left(\Pi\middle|O\right) &= \frac{P(\Pi \cap O)}{P(O)} = \frac{P(\Pi \cap V)}{P(\Pi \cap V) + P(\overline \Pi \cap \overline V)}. \end{align*} \]

Ahora bien,
\[\begin{align*} P(\Pi \cap V) &= P\left(V\middle|\Pi\right) \times P(\Pi) = \frac {1}{20} \times \frac 7{10} = \frac{7}{200}\\ \text{y} \qquad P(\overline \Pi \cap \overline V) &= P\left(\overline V\middle|\overline \Pi\right) \times P(\overline \Pi) = \frac{1}{10} \times \frac 3{10} = \frac 3{100}. \end{align*}\]

La probabilidad condicional buscada es por tanto igual a
\[ \begin{align*} P\left(\Pi\middle|O\right) &= \frac{P(\Pi \cap V)}{P(\Pi \cap V) + P(\overline \Pi \cap \overline V)} = \frac{7/200}{3/100+7/200} = \frac 7{13} \approx 0{,}538. \end{align*}\]

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

Disponible en www.pug.fr

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Para citar este artículo:

— «Abril 2019, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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