Un desafío por semana

Abril 2020, primer desafío

Le 3 avril 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 3 avril 2020
Article original : Avril 2020, 1er défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 14

Sean $a, b$ y $c$ tres números enteros mayores que o iguales a $1$, menores que o iguales a $10$ y distintos entre sí. ¿Cuál es el máximo valor que la expresión $a(b+c) - b(a+c)$ puede alcanzar ?

Solución del cuarto desafío de marzo :

Enunciado

Sean $n$ un tal número, $a, b, c$ y $d$ sus dígitos y $s = a + b + c + d$ la suma de ellos. Por hipótesis
\[ n = 1000a + 100b + 10c + d = s^3\quad\text{y} \quad 1000\leq n\leq 9999, \]
de donde $10\leq s\leq 21$.

Si a $s^3$ le restamos $s$, obtenemos
\[ s^3 - s = s(s-1)(s+1) = 999a + 99b + 9c, \]
de donde deducimos que $s(s-1)(s+1)$ es un múltiplo de $9$.

Puesto que $s-1, s$ y $s+1$ son tres números consecutivos, uno de ellos debe ser un múltiplo de $9$. Las únicas posibilidades entonces son $s= 10, 17, 18$ o $19$.

  • Si $s = 10$, entonces $n = 10^3 = 1000$, pero la suma de los dígitos de $n$ no es $10$.
  • Si $s = 17$, entonces $n = 17^3 = 4913$ y la suma de los dígitos de $n$ es exactamente $17$, así que hemos encontrado una solución.
  • Si $s = 18$, entonces $n = 18^3 = 5832$ y la suma de los dígitos de $n$ es exactamente $18$, por lo que hemos encontrado otra solución.
  • Si $s = 19$, entonces $n = 19^3 = 6859$, pero la suma de los dígitos de $n$ no es $19$.

En conclusión, las únicas soluciones son $4913$ y $5832$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Abril 2020, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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  • AVIGATOR FORTUNER / SHUTTERSTOCK

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