Un desafío por semana

Abril 2021, primer desafío

Le 2 avril 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 2 avril 2021
Article original : Avril 2021, 1er défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 14
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Los lados del hexágono regular miden $1~\mathrm{cm}$. Calcula la distancia que separa los puntos $X$ e $Y$.

Solución del cuarto desafío de marzo :

Enunciado

No hay más que seis números de dos cifras que sean cuadrados de un entero : $16, 25, 36, 49, 64$ y $81$. Veamos entonces que, sin importar cuál de ellos consideremos, existe un único múltiplo de $11$ añadiendo un dígito a la izquierda de dicho cuadrado.

  • Notemos que $100$ da un resto de $1$ al dividirlo por $11$. Para $200$, tendremos un resto de $2$ ; para $300$, uno de $3$ y así sucesivamente hasta $900$, que dará un resto de $9$.
  • Puesto que $16$ arroja un resto de $5$, añadiéndole $600$ obtenemos un múltiplo de $11$ (la suma de restos siendo $5 + 6 = 11$). Por lo tanto, $616$ es el único múltiplo de $11$ deseado.

Ya que $25$ da un resto de $3$, basta con sumarle $800$ para obtener un múltiplo de $11$. De igual modo, a $36$ basta con añadirle $800$, a $49$ hay que sumarle $600$, a $64$ hay que agregarle $200$ y finalmente a $81$ hay que aumentarlo de $700$ para obtener un múltiplo de $11$.

  • Hemos visto que con sólo un dígito de centenas es posible obtener un múltiplo de $11$ partiendo de cada cuadrado de dos cifras.

La probabilidad buscada es entonces $\dfrac{1}{9}$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Pour citer cet article :

— «Abril 2021, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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