¿Acaso no se ha encontrado ya todo en matemáticas ?

Le 14 octobre 2009  - Ecrit par  Christiane Rousseau
Le 26 février 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Tout n’a-t-il pas été trouvé en mathématiques ? Voir les commentaires
Lire l'article en  

— ¿Usted se dedica a la investigación en matemáticas ? Pero, ¿acaso no se ha encontrado ya todo en matemáticas ?

Estas preguntas son dirigidas a una matemática (hay algunas en la profesión) que llamaremos -por qué no- Christiane.

— (Christiane) A usted le gusta comprender cómo funciona su cámara fotográfica o su tostadora de pan. Para eso, usted la desarma y descubre los mecanismos internos. A veces, admira algún mecanismo ingenioso. Otras veces, piensa que lo haría mejor que el ingeniero que concibió el objeto. En nuestra profesión, nosotros hacemos lo mismo.

— ¿Puede darme un ejemplo ?

— (Christiane) Usted envía su número de tarjeta de crédito por Internet. Está codificado para que no pueda ser leído por espías que interceptarían la comunicación. La receta de la codificación es pública. Se lo explico con un ejemplo simple.

Tomo dos números primos, por ejemplo $97$ y $103$, y calculo su producto \[97\times 103=9991 ,\] que llamo la clave.

Yo le comunico la clave $9991$, así como el número $5$ del cual usted se servirá para la codificación.

Su tarjeta de crédito tiene el numero $1234$.

Para encriptar el número, le pido que calcule el número $1234^{5}$, lo que da $2861381721051424$, y luego, que encuentre el resto de la división de ese gran número por la clave, $9991$.

Como \[2861381721051424 = 9991\times 286395928440+ 7384 \],
el resto vale $7384$. Por supuesto, ese cálculo es un poco largo y es mejor utilizar un computador. Ese resto, $7384$ , es el número encriptado que usted me transmite.

Para encontrar de nuevo su número de tarjeta de crédito, yo calculo
$7384^{3917}$ que divido por $9991$. El resto de la división es precisamente el número $1234$, es decir, ¡el número de su tarjeta de crédito que yo recuperé !

Los números $9991$ y $5$ que yo le transmití son públicos.
Por eso esta técnica de encriptación se llama
criptografía en clave pública o código RSA. Por el contrario, el exponente $3917$ que yo utilicé es conocido solo por mí.
Pero puedo explicarle el método para calcularlo : es simple (y público) en cuanto usted encuentre los factores $97$ y $103$ de $9991$. En nuestro ejemplo, es fácil factorizar $9991$. Pero si yo tomo enteros primos más grandes (por ejemplo de 150 cifras cada uno) y los multiplico, ningún computador -por potente que sea- es aún capaz de encontrar los dos enteros a partir de su producto.

El código RSA data de 1978. Después de más de treinta años, matemáticos/as e informáticos/as saben que la gloria les espera si consiguen programar un computador para que factorice grandes números que ellos/ellas mismos/as han construido por computador. Pero el código RSA resiste todavía...

— No comprendo. Yo sé multiplicar esos dos números primos y también aprendí a factorizar un número.

— (Christiane) Suponga que usted tiene dos bobinas de hilo de pescar. Para usted es fácil enredarlas en una gran pelota. Pero desenredarlas seguramente le tomará mucho más tiempo...

— Pero cuando Alejandro Magno vio el nudo gordiano, tuvo la idea de cortarlo con su espada. ¿No se podría hacer lo mismo ?

— (Christiane) ¡Bravo ! Usted ha empezado a hacer ciencia. Y la historia moderna comienza a parecerse a la de Alejandro. En la historia moderna, Alejandro ha tratado de cortar el nudo gordiano con su espada, pero la espada se rompió y él pidió una más robusta. En el taller se prueba nuevos materiales. Para el código RSA, el matemático Shor encontró cómo factorizar rápidamente grandes números ... pero en un computador cuántico, que todavía no existe... La orden por lo tanto se traspasó a los físicos que buscan...

— Pero quizás Alejandro, en vez de esperar su espada robusta, pueda intentar con otro método. Por ejemplo ¿calentar el nudo ?, ¿o sumergirlo en ácido ?

— (Christiane) ¡Claro ! Usted ha comprendido bien. Mientras los físicos buscan, los matemáticos/as buscan ...

Partager cet article

Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¿Acaso no se ha encontrado ya todo en matemáticas ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?