Adivinanza en cifras árabes

Le 6 janvier 2011  - Ecrit par  Charles Boubel
Le 12 juin 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Devinette en chiffres arabes Voir les commentaires
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Todos los alumnos que terminan secundaria (creo que) han pasado por la construcción matemática a la que refiere este artículo. Recientemente, descubrí que era conocida desde hace mucho tiempo, en muchos lugares. Por ejemplo, está descrita por el matemático árabe Ibn Mun‘im.

Hojeando un libro [1], mi mirada se detuvo en esta reproducción, que inmediatamente me impresionó ya que reconocí de qué se trataba. Yo no leo árabe, así que mejor observe :

Se trata de ’’cifras árabes [2]’’, que por lo tanto yo podía leer un poco. ¿Reconoce usted de qué se trata ?

Un indicio haciendo click aquí.

Se reconoce el triángulo

$\begin{array}{ccccccccc} &&&&&&&&1\\ &&&&&&&1&8\\ &&&&&&1&7&28\\ &&&&&1&6&21&56\\ &&&&1&5&15&35&70\\ &&&1&4&10&20&35&56\\ &&1&3&6&10&15&21&28\\ &1&2&3&4&5&6&7&8\\ 1&1&1&1&1&1&1&1&1 \end{array}$

el cual puede ser continuado indefinidamente hacia la derecha.

Yo reproduje solo las nueve primeras columnas del triángulo del documento, en el cual además la undécima y última columna está desplazada en una casilla hacia abajo en relación a su posición natural.

Y la respuesta aquí.

¡Es el « triángulo de Pascal » !

Otra presentación del triángulo, tal vez más familiar, es la siguiente, que puede continuar indefinidamente hacia abajo :

\[ %\addtolength{\arraycolsep}{-0.2ex} \begin{array} {p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}p{2.5ex}} &&&&&&&&1\\ &&&&&&&1&&1\\ &&&&&&1&&2&&1\\ &&&&&1&&3&&3&&1\\ &&&&1&&4&&6&&4&&1\\ &&&1&&5&&10&&10&&5&&1\\ &&1&&6&&15&&20&&15&&6&&1\\ &1&&7&&21&&35&&35&&21&&7&&1\\ 1&&8&&28&&56&&70&&56&&28&&8&&1 \end{array}\]

¿De qué se trata ? En este triángulo, si uno enumera las líneas y las posiciones en cada línea a partir de cero, entonces el número en posición p sobre la línea número n indica cuántas maneras existen de elegir p objetos entre n. Veamos por ejemplo la línea número 4 (es decir, la quinta línea, ya que uno ha contado partiendo del número cero) :

1 4 6 4 1

Ella indica que, entre cuatro objetos, hay :

  • una manera de no elegir ningún objeto (esto es evidente),
  • cuatro maneras de elegir uno solo (también evidente : uno elige el primer objeto, o el segundo, o el tercero o el cuarto),
  • seis maneras de elegir dos : ¡cuéntelas ! Los dos primeros, el primero y el segundo, el primero y el tercero, etc.
  • cuatro maneras de elegir tres : esto equivale a elegir uno y eliminarlo, o equivale al segundo caso examinado ; así se comprende por qué el triángulo es simétrico en relación a su eje vertical,
  • una manera de elegir todos los objetos (evidente).

Esta tabla fue elaborada por Ahmad ibn Mun‘im al-Abdari, matemático de los siglos XII y XIII del calendario cristiano, nacido en Dénia, Andalucía (España), que vivió en Marrakech, Marruecos, y murió en 1228. ¿Cuál es su descubrimiento ? Es difícil contar directamente el número de opciones posibles de p objetos entre n desde que n y p sobrepasan algunas unidades. Sin embargo, estos números, llamados combinaciones de p entre n, se organizan en un cuadro triangular cuya construcción sigue una ley muy simple. En la presentación de Ibn Mun‘im, cada número es la suma de los números que le anteceden, sobre la línea de abajo. Por ejemplo, el número 56, subrayado, es la suma de los números en negrita de la línea de abajo :

1
1 8
1 7 28
1 6 21 56
1 5 15 35 70
1 4 10 20 35 56
1 3 6 10 15 21 28
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1

Supongo que es por esto que el autor desplazó hacia abajo la última, o más bien la primera columna de su cuadro, en el sentido de lectura árabe. De este modo se ve que cada una de las casillas lleva la suma de los números de las casillas anteriores.

Esta propiedad del triángulo proviene de una propiedad más simple aún. En el segundo esquema que indiqué, cada número es la suma de los dos números que le ’’anteceden’’, arriba a la izquierda y arriba a la derecha, contando cero como una ausencia de número a lo largo de los lados del triángulo. ¡Verifíquelo por sí mismo ! Yo ignoro si Ibn Mun‘im menciona esta propiedad. A. Djebbar no hace ninguna alusión a esto.

A. Djebbar señala finalmente que las anotaciones al margen de este cuadro de Ibn Mun‘im indican el número de opciones posibles para un tejedor de p colores de hilo entre n. Es probablemente una situación concreta tomada como ejemplo-tipo para hacer comprender la situación abstracta. Más ampliamente, la combinatoria era una disciplina en nacimiento en el mundo árabe de los siglos XII y XIII. Ibn Mun‘im y otros matemáticos árabes de la época mostraron de ese modo diversas fórmulas acerca de las combinaciones, con o sin repeticiones, de p objetos entre n.

Muchas personas me han señalado entonces que existen a través del mundo numerosas huellas escritas, directas o indirectas, del triángulo de las combinaciones, incluso más antiguas. La más antigua es de India, se remonta entre los siglos V y II antes de nuestra era, y su autor es Pingala [3]. El triángulo no es presentado bajo su aspecto combinatorio (recuento de combinaciones) sino algebraico (coeficientes del binomio). Para una idea aproximada de esta historia y un suplemento de iconografía, vea la página de Wikipedia en inglés o, un poco menos rica pero complementaria, en francés.

¿Y Pascal ? Él redescubrió el triángulo en sus trabajos sobre recuento y probabilidades, expuestos en su famoso Tratado del triángulo aritmético, publicado en 1654. Las propiedades del triángulo que Pascal extrae -como la fórmula llamada del ’’binomio de Newton’’- son muy ricas, y su tratado, muy construido, tiene un carácter fundador. Él mezcla probabilidades, combinatoria y álgebra en una unidad. Por lo tanto, no es ilegítimo que uno asocie su nombre al triángulo. Recordemos sin embargo a sus precursores, Ibn Mun‘im en su tratado Fiqh al-hisab, y muchos otros, conocidos o desconocidos.

La reproducción del manuscrito árabe me da también la oportunidad de un ejercicio para mis estudiantes, en un módulo de probabilidades : reconocer de qué se trata.

Aprovecho finalmente esta nota para plantear a los lectores sabios la siguiente pregunta, que me inspiró el manuscrito y una pregunta de un estudiante [4]. Los árabes escriben de derecha a izquierda pero, para escribir un número, ordenan sus cifras como nosotros : la cifra de las unidades a la izquierda, la de las decenas -si es que hay- a su derecha, la de las centenas a su derecha, etc. En otras palabras, ellos escriben los números comenzando por las unidades, y nosotros lo hacemos de manera inversa. ¿Hay alguna explicación ? ¿por qué la elección de este orden por los árabes, y por qué los europeos la guardaron visualmente intacta, es decir, invertida desde el punto de vista del acto de escritura ?

Post-scriptum :

El logo del artículo es una vista de la mezquita de la Koutoubia en Marrakech, Marruecos, donde vivió Ibn Mun‘im. En el siglo XII los Almohades la hicieron construir, y luego la remodelaron profundamente. Esta remodelación es contemporánea con el comienzo de la vida de Ibn Mun‘im.

Notes

[1Une histoire de la science arabe, Ahmed Djebbar, points Seuil 2001.

[2Más exactamente, se trata de cifras árabes del Maghreb, que han sido tomadas por los europeos. Los árabes de Arabia utilizaban otro juego de diez caracteres.

[3NdT : La versión en inglés de esta misma entrada en Wikipedia es más completa.

[4¿Por qué Ibn Mun‘im ordenó el triángulo de izquierda a derecha, en el sentido de su construcción lógica, mientras que él escribía de derecha a izquierda ? Es como si nosotros los europeos hubiéramos presentado el triángulo con la punta a la derecha, y se desarrollara hacia la izquierda... Es tal vez para presentar el triángulo como una explicación de los valores de la primera columna -la que está más a la derecha- ’’escondida detrás de ella’’. No tengo otra hipótesis. Si algún lector tiene una...

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Adivinanza en cifras árabes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Foto Luc Viatour, via wikimedia commons.

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