Adornos y cristales, teselados y grupos, I

Piste noire Le 8 mai 2009  - Ecrit par  Pierre de la Harpe
Le 8 mai 2009  - Traduit par  Edgard Araya, Andrés Navas, Pilar Garcés
Article original : Ornements et cristaux, pavages et groupes, I Voir les commentaires
Lire l'article en  

Este texto es la primera de tres partes que desarrollan una presentación oral dada a alumnos de primer año de la ENS-Lyon, en el Château de Goutelas, el 23 de enero de 2009.

El arte del ornamento contiene en forma implícita la parte más antigua de las matemáticas superiores que conocemos (Weyl-52, página 103).

... Ni la contemplación pasiva de los patrones del papel tapiz, ni la contemplación pasiva de las definiciones abstractas, son matemáticas ; ya que estas últimas son ante todo una actividad en la que se utilizan definiciones para producir resultados concretos (Schw-74).

Esquema del artículo

  • I. Primera parte.
    • 1. Teselaciones poligonales del plano y grupos de simetría.
    • 2. Equidescomposiciones.
    • 3. Las tres teselaciones regulares del plano.
    • 4. Polígonos que teselan el plano.
  • II. Segunda parte.
    • 5. Grupos ornamentales y cristalográficos.
    • 6. Los subgrupos finitos de $O(2)$.
    • 7. Grupos de frisos.
    • 8. Redes de dimensiones $2$ y $3$ y estado cristalográfico.
    • 9. Ejemplos de grupos cristalográficos planos.
  • III. Tercera parte.
    • 10. Grupos de simetría de una red y varios tipos de clasificación.
    • 11. Teselaciones periódicas y segunda parte del XVIII problema de Hilbert.
    • 12. Algunas indicaciones históricas sobre la dimensión tres.
    • 13. Sobre la espectrografía.

Se supone que el lector, por un lado, disfruta de cierta familiaridad con la geometría plana y, por otro lado, domina el vocabulario básico de la teoría de grupos.

1. Teselaciones poligonales planas y grupos de simetría

Se supone que se conocen las propiedades habituales del plano euclidiano, aquí denotado $\mathbf E$. Recuerda que un polígono es una parte compacta conexa del plano, limitada por un número finito de segmentos, y que tiene un interior no vacío. Tal polígono es simplemente conexo si cualquier lazo que contiene es deformable continuamente en un punto dentro del polígono. Es convexo si, con dos puntos, contiene siempre el segmento de recta que los une. Definición equivalente : un polígono es convexo si es la intersección de semiespacios cerrados. Un polígono convexo es a fortiori simplemente conexo ; un polígono simplemente conexo es homeomorfo a un disco. La Figura 1 muestra algunos ejemplos ; los tres primeros son simplemente conexos (como todos los que aparecen a continuación) y los dos primeros son incluso convexos.

Figura 1 : algunos polígonos planos

Consideramos en este texto que dos polígonos son iguales si son isométricos (las isometrías no necesariamente conservan la orientación del plano).

Sea $\mathbf F$ una parte del plano, por ejemplo, un polígono, o la unión de varios polígonos, o el plano completo. Un teselado de $\mathbf F$, o un mosaico del plano si $\mathbf F = \mathbf E$, es un recubrimiento $\mathcal P = \left( P_i \right)_ { i \in I}$ de $\mathbf F$ por polígonos con interiores disjuntos :
\[ \mathbf F \, = \, \bigcup_{i \in I} P_i , \qquad \overset{\circ}{P_i} \cap \overset{\circ}{P_j} = \emptyset \quad \forall i,j \in I, i \ne j . \]
Los polígonos de un mosaico también se denominan mosaicos o ladrillos (obviamente, uno podría generalizar a mosaicos más generales que a los poligonales).

Una familia de polígonos $\mathcal M = \left\{P^{(\kappa)}\right\}_{\kappa \in K}$ es una familia de teselación modelo de una teselación $\mathcal P = \left( P_i \right)_{i \in I}$ si cada $P_i$ es isométrico a uno de $P^{(\kappa)}$ ; un $\mathcal M$-teselado es una teselación por copias de los teselados del modelo $\mathcal M$. Se dice que una teselación es monoédrica si tiene una única teselación modelo, es decir, si todos sus polígonos son iguales, diédrica (respectivamente triédrica, ...) si tiene dos (resp. tres, ...) teselaciones modelo.

Un teselado es lado a lado o estricto si la intersección de dos polígonos distintos es vacía, o bien un vértice común de varios polígonos, o un borde común de los dos polígonos. En este caso, definimos naturalmente qué es un vértice, un borde (o lado) y una cara del teselado.

Una simetría de un teselado $\mathcal P = \left( P_i \right)_{i \in I}$ es una isometría $\gamma$ del plano tal que $\gamma(P_i)$ es un mosaico $P_j$ para todo $i \in I$ ; el conjunto de estas simetrías constituye el grupo de simetría de $\mathcal P$. Un teselado es periódico si tiene una [1] simetría traslacional.
Recuérdese que una isometría del plano distinta a la identidad puede ser de cuatro tipos :

  • una rotación (en particular, una media vuelta, también llamada simetría central, un tercio de vuelta, un cuarto de vuelta, etc.),
  • una traslación,
  • una simetría (implícita relativa a un eje),
  • una simetría deslizante (composición de una simetría y una traslación paralela al eje de simetría). En el grupo de simetría $\Gamma$ de una teselación, una simetría deslizante es trivial si su eje también es el eje de una simetría de $\Gamma$, y no trivial en caso contrario. Una forma de describir un grupo $\Gamma$ de este tipo consiste en describir sus elementos de cada uno de los tipos anteriores y sus clases de conjugación.

La literatura sobre las teselaciones es considerable. El tratado de Grünbaum y Shephard [GrSh-87] es una de las referencias obligadas. Tras las charlas de Goutelas, el autor descubrió un libro reciente de Conway, Burgiel y Goodman-Strauss [CoBG-08], muy profusamente ilustrado, que es un firme candidato a convertirse en un clásico sobre el tema.

2. Equidescomposiciones

Existe una tradición bien establecida de recreaciones matemáticas de varios tipos. Uno de ellos consiste en encontrar equidescomposiciones : dadas dos partes del plano anterior, $\mathbf F_1$ y $\mathbf F_2$, el juego consiste en imaginar un $\{ P_1,..., P_k\}$ de polígonos que permiten teselar ambos $\mathbf F_1$ y $\mathbf F_2$, preferiblemente con un mínimo de $k$. En otras palabras, encontrar una equidescomposición de $\mathbf F_1$ y $\mathbf F_2$ significa encontrar una variedad de piezas de un rompecabezas que tenga al menos estas dos soluciones. Son puzzles en el sentido de los que se encuentran en el mercado : una solución de un puzzle utiliza todas las piezas disponibles, cada una exactamente una vez.


Las familias de teselaciones modelo en el capítulo 1 y los capítulos subsiguientes también definen tipos de rompecabezas, pero en un sentido diferente, ya que consideran teselados (por ejemplo, del plano) en los que cada teselación modelo aparece un número arbitrario de veces y, a menudo, incluso un número infinito de veces.

Una condición obviamente necesaria para que dos partes del plano $\mathbf F_1$ y $\mathbf F_2$ sean equidescomponibles es que sus áreas sean iguales. Esta condición también es suficiente : es el teorema de Bolyai-Gerwein-Wallace, que data de la década de 1830, ver por ejemplo [Bolt-78] y [Fred-97 ]. (En la dimensión $3$, la condición análoga para los volúmenes no es suficiente, lo cual sabemos al menos desde 1901, que es la fecha de publicación por Max Dehn de la solución del tercer problema [2] de Hilbert [3].)

Es importante no asumir a priori que $\mathbf F_1$ y $\mathbf F_2$ están relacionados. Por ejemplo, $\mathbf F_1$ puede ser un polígono de área $a$ y $\mathbf F_2$ la unión de dos polígonos de área $b$ y $c$, con $a = b+c$.

Antes de dar algunos ejemplos, tenga en cuenta que hay muchas fuentes disponibles para las equidescomposiciones. Citemos primero una de las obras clásicas [Dude-70], en particular su capítulo de ’’problemas geométricos’’ (incluyendo tangrams). También nos referimos a un libro [Fred-97] y a los muchos sitios web (por ejemplo [Rous] y [WaBG]) donde uno puede encontrar mucho más.

La Figura 2 resume una demostración del teorema de Pitágoras para el cual $k=3$ ; está copiada de la página 89 de [BaCo-87] y alude a la llamada prueba de Perigal [Peri-73], un matemático aficionado inglés (1801-1898).

PNG - 11.2 ko
Figura 2 : el teorema de Pitágoras.

$ \ $

Ejercicio. Muestra equidescomposiciones para

(i) un triángulo con lados $a$, $b$, $c$ y un paralelogramo con lados $a,b/2$ ;

(ii) un paralelogramo con lados $a,b$ y un rectángulo cuyo lado es $a$ ;

(iii) un rectángulo de lados $a,b$ y un rectángulo de lados $c,d$ con $ab = cd$ ;

(iv) un octógono regular y un cuadrado de igual área.

[Sugerencia para (iii). No restringimos la generalidad suponiendo que $a > c$, y primero debemos suponer que $c$ no es mucho más pequeño que $a$.

Una solución de las partes (i), (ii) y (iii) del ejercicio proporciona ’’casi’’ una demostración del teorema de Bolyai-Gerwein-Wallace ; ver capítulo III de [BaCo-87]. La parte (iv) está sujeta a infinitas variaciones.]

Observación. Euclides, alrededor del año 300 aC, usa equidescomposiciones de polígonos para calcular áreas. Ver Elementos, Libros I a IV, en particular los números I.35 a I.48 del Libro I. De la teoría del área de polígonos planos podemos decir que fue iniciada por Euclides y, en cierto sentido, completada por Hilbert en su Grundlagen der Geometrie [Hilb-71], cuya primera edición se remonta a 1899. Véase, por ejemplo, el capítulo 5 de [Hart-00].

3. Las tres teselaciones regulares del plano

Ahora estamos principalmente interesados ​​en teselaciones de todo el plano : $\mathbf F = \mathbf E$.

El resultado que sigue [4] era conocido por Pappus, un matemático griego del siglo III d.C.

Proposición 3.1 :

Si hay una teselación plana monoédrica por polígonos regulares con $n$ lados, entonces $n \in \{3,4,6\}$.

Demostración.

El ángulo interior de un polígono regular de $n$ lados es $\frac{n-2}{n}\pi$. De hecho, la suma de todos los ángulos interiores es igual a $n-2$ por la suma análoga de un triángulo, que es $\pi$. Como los ángulos de un $n$-ángulo regular son todos iguales, el producto por $n$ de este ángulo es $(n-2)\pi$.

Considere primero las teselaciones estrictas. Si existe un teselado estricto como en el enunciado, la condición en un vértice del teselado es $k \frac{n-2}{n}\pi = 2\pi$, donde $k$ es un número entero, $k \ge 3$. Esta condición también se escribe

\[ (n-2)(k-2) \, = \, 4 . \]

Las únicas soluciones enteras adecuadas son

\[\begin{array} {} n \, = \, 3 & \text{y} & k \, = \, 6,\\ n \, = \, 4 & \text{y} & k \, = \, 4,\\ n \, = \, 6 & \text{y} & k \, = \, 3. \end{array}\]

Estas corresponden a teselaciones por, respectivamente, triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares.

El caso de las teselaciones no estrictas se deja al lector.

PNG - 14.7 ko
Figura 3 : los tres teselados regulares del plano.

Sea $\mathcal C = \left( C_i \right)_{i \in I}$ una teselación estricta por cuadrados. La subdivisión estándar de $\mathcal C$ es la teselación $\mathcal C'$ obtenida de $\mathcal C$ al subdividir cada $C_i$ en ocho triángulos rectángulos isósceles. Cada triángulo tiene por vértices : un vértice de $ C_i$, el punto medio de un lado incidente y el centro de $C_i$.

Sea entonces $\mathcal T = \left( T_i \right)_{i \in I}$ una teselación estricta por triángulos equiláteros. La subdivisión estándar de $\mathcal T$ es la teselación $\mathcal T'$ obtenida de $\mathcal T$ al subdividir cada $T_i$ en seis triángulos de ángulos $\pi/2, \ pi/3 , \pi/6$, teniendo cada triángulo como vértices : un vértice de $T_i$, el punto medio de un lado incidente y el centro de $T_i$ (tal como arriba).

Proposición 3.2 :
  • Sea $\mathcal C$ una teselación estricta por cuadrados. Los elementos del grupo de simetría de $\mathcal C$ son las traslaciones ’’obvias’’ :
    • los cuartos de vuelta y medias vueltas fijando los vértices y los centros de los cuadrados,
    • las medias vueltas que fijan los puntos medios de los lados de los cuadrados,
    • las simetrías relativas a las líneas del mosaico $\mathcal C'$, así como simetrías deslizantes triviales que tienen estas líneas rectas por ejes,
    • simetrías deslizantes no triviales cuyos ejes son bisectrices perpendiculares de triángulos de la teselación $\mathcal C'$.
      Este grupo es generado por las tres reflexiones relativas a los tres lados de un triángulo de $\mathcal C'$.
  • Sea $\mathcal T$ una teselación estricta por triángulos equiláteros. Los elementos del grupo de simetría de $\mathcal T$ son las traslaciones ’’obvias’’ :
    • los sextos de vueltas y sus iteraciones fijando los vértices de los triángulos,
    • el tercios de giro fijando los centros de los triángulos,
    • las medias vueltas que fijan los puntos medios de los lados de los triángulos,
    • las simetrías relativas a las líneas de la teselación $\mathcal C'$, así como simetrías deslizantes triviales que tienen estas líneas como ejes (y sin simetría deslizante no trivial).
      _Este grupo es generado por las tres reflexiones relativas a los tres lados de un triángulo de $\mathcal T'$.

Observación 3.3

  1. Las teselaciones planas estrictas resaltadas por la proposición 3.1 son las tres teselaciones regulares, ilustradas en [Kepl-19] por las figuras D,E,F en la página 73, y arriba por la figura 3. La proposición implica que no hay otra, salvo por semejanza de figuras planas. La demostración de la Proposición 3.2 se deja al lector.
  2. Para teselaciones del plano por polígonos regulares de varios tipos, véase el capítulo 2 de [GrSh-87].
  3. Existe un teselado del plano por hexágonos regulares, dual de $\mathcal T$ en un sentido fácilmente especificado, que tiene el mismo grupo de simetría que $\mathcal T$.
  4. Hay polígonos que teselan el plano pero no lo teselan estrictamente, por ejemplo, un decágono resaltado por Heesch ; ver figura 1.3.7 de [GrSh-87].
  5. Los grupos de la proposición 3.1 tienen ’’presentaciones de Coxeter’’ que son respectivamente
    \[{Sym}(\mathcal C) \, = \, \langle a,b,c \ \vert \ a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^4 = (bc)^2 = (ca)^2 = 1 \rangle \]
    y
    \[ {Sym}(\mathcal T) \, = \, \langle a,b,c \ \vert \ a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^6 = (bc)^3 = (ca)^2 = 1 \rangle . \ \]


Ejercicio
(para un lector que sabe qué es el gráfo de Cayley de una presentación de grupo).
Identifique los mosaicos de la Figura 3 a los gráfos de Cayley de las presentaciones
\[ \begin{align} \ \Gamma_{\triangle} \, &=\, \left\{ a,b,c \ \vert \ abc = cba = 1 \right\} , \\ \Gamma_{\square} \, &= \, \left\{ a,b \ \vert \ ab = ba \right\} , \\ \Gamma^{(1)}_{hex} \, &= \, \left\{ a,b,c \ \vert \ a^2 = b^2 = c^2 = (abc)^2 = 1 \right\} , \\ \Gamma^{(2)}_{hex} \, &= \, \left\{ a,b,c \ \vert \ a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^3 = (bc)^3 = (ca)^3 = 1 \right\} . \end{align} \]

[Indicación. Para $\Gamma_{\triangle}$, marca los bordes de una teselación con triángulos equiláteros con $a$, $b$ o $c$ dependiendo de si son horizontales, ascendentes y formando un ángulo de $2\pi /3$ con el eje real orientado a la derecha, o descendiendo y formando un ángulo de $2\pi/3$ con este eje. De manera similar, use los generadores para marcar los bordes de los otros gráfos de Cayley.]

Nota : cada uno de estos grupos es usado en [Thur-89] para resolver algunos problemas con mosaicos de partes del plano.

Ejercicio-proyecto.
Estudie las teselaciones de Arquímedes, que son teselaciones en las que todas las figuras son polígonos regulares y en los que todos los vértices tienen vecindades congruentes por isometrías que conservan la orientación. Sabemos que hay $11$ de tales teselaciones módulo semejanza ($12$ módulo una semejanza más adecuada). Ver [GrSh-87], páginas 58-64 y 102-107.

Ejercicio.
Sea $\mathcal P$ una teselación regular del plano. Comprueba que el grupo de simetría $\Gamma$ de $\mathcal P$ actúa transitivamente sobre el conjunto de banderas de $\mathcal P$.

Una bandera $(S,A,P)$ de una teselación $\mathcal P$ está formado por un vértice $S$, una arista $A$ y una teselación $P$ de $\mathcal P$ tal que $S \in A \subset P$.
Para un teselado del plano, podemos definir la regularidad por la condición de que $\Gamma$ es transitiva en el conjunto de banderas.

Ejercicio.
Describir dos teselados monoédricos del plano por triángulos isósceles rectángulos, uno periódico y otro no periódico.

Obsérvese que, por el contrario, existe un único teselado del plano (módulo isometría) por hexágonos regulares, un teselado que es periódico. Esta propiedad, llamada monomorfismo, también es válida para un hexágono que tiene tres pares de lados opuestos paralelos de la misma longitud, así como para varios otros polígonos (ver figura 1.5.1 de [GrSh-87]).

Observación.
Una familia $\mathcal M = \{P^{(1)}, ..., P^{(n)}\}$ de modelos es monomórfica, dimórfica, ..., $r$-mórfica , ... si existe hasta la isometría exactamente $1$, $2$, ..., $r$, ..., $\mathcal M$ del plano. En #1.5 de [GrSh-87], el problema de si existen modelos de $r$-morfismos para todos los $r \ge 1$ se cita como aún abierto (lo mismo para $r $infinito contable) ; sabemos que existen tales modelos para $r \le 10$.

Digresión sobre un problema largo abierto : la conjetura de Minkowski

A primera vista, las teselaciones por cuadrados y sus análogos en otras dimensiones pueden parecer ’’fáciles’’ ; pero solo a primera vista. Sea $\mathcal P$ un mosaico de $\mathbf R^n$ por traslaciones del cubo unitario. ¿Existe necesariamente un par de teselas cuya intersección sea una cara $(n-1)$ de cada una de ellas ?

Si suponemos además que las teselaciones de $\mathcal P$ son todas las traslaciones del cubo unitario por una red (de traslaciones), la respuesta afirmativa fue conjeturada en 1907 por Minkowski (quien había dado muchas otras formulaciones, la primera en teoría de números). Esta conjetura de Minkowski fue probada para $n \le 3$ por él, para $n \le 6$ por Jansen (1909), y finalmente probada para todo $n$ por Hajos (1942).

La conjetura fue generalizada por Keller (1930) a todas las teselaciones mediante la traslación del cubo unitario (por lo tanto, se elimina la condición que implica una red). Esta conjetura de Keller fue probada para $n \le 6$ por Perron (1940), pero refutada para $n \ge 10$ por Lagarias y Shor (1992) (a menos que me equivoque : refutada desde $n \ge 8$).

Para todo esto, véase [Stei-74], la excelente monografía [StSz-94], y un resumen más reciente [Zong-05].

4. Polígonos que teselan el plano

Diremos que un polígono $P$ tesela el plano si existe un teselado del plano que es monoédrico por copias de $P$.
Así, la Proposición 3.1 muestra que un $n$-ágono regular tesela el plano si y sólo si $n \in \{3,4,6\}$. Más generalmente, una familia $\mathcal M = \{P^{(1)}, ..., P^{(n)}\}$ de modelos tesela el plano si hay un teselado del plano por copias de los $P^{(j)}$.

Es (casi...) obvio que cualquier triángulo tesela el plano. En efecto, la unión de un triángulo $P$ y su simétrico con respecto a un lado de $P$ es un paralelogramo, y es (aún más) obvio que cualquier paralelogramo tesela el plano, como se ilustra en la figura 4.

PNG - 36.9 ko
Figura 4. Embaldosado del plano por triángulos, todos iguales.

Ejercicio.
Sea $P$ un hexágono con un par de lados opuestos paralelos de la misma longitud. Comprueba que $P$ tesela al plano.

Ejercicio.
Demuestre que cualquier cuadrilátero tesela al plano.

Indicación.

La unión de un cuadrilátero $P$ y el simétrico de $P$ con respecto a un lado de $P$ es un hexágono que tiene sus pares de lados opuestos paralelos y de la misma longitud ; y tal hexágono tesela el plano, por el ejercicio anterior.

Ejercicio.
Exhiba pentágonos que teselen el plano y pentágonos que no lo teselen.

Observaciones.

  1. El arte de embaldosar es tan antiguo como el mundo. Los testigos, entre muchos otros, son magníficos ejemplos del antiguo arte egipcio o islámico. Entre los muchos sitios web que ofrecen ilustraciones, consulte [Tess] y [Tess.org] ; algunos de ellos indican mosaicos de otras superficies, incluida la esfera y el plano hiperbólico.
  2. Hay un artículo de 1968 que proporciona una lista de pentágonos convexos que forman mosaicos en el plano, confiando en una ’’prueba’’ de la integridad de esta lista. Sin embargo, siete años más tarde, Martin Gardner informó estos resultados en Scientific American, una revista de divulgación científica, y varios lectores exhibieron pentágonos convexos que cubrían el plano, ¡pero que no estaban en la lista ! Entre estos lectores notablemente perspicaces se encontraba Majorie Rice, que no formaba parte oficialmente de la hermandad de matemáticos profesionales, aunque la logró burlar. Para obtener más información sobre este tema, consulte en particular [Scha-78] y [Scha-81].
  3. Sabemos caracterizar exactamente cuáles son los hexágonos convexos que teselan el plano : hay tres familias, incluida la de un ejercicio anterior. Ver [Rein-18], que es una tesis supervisada por Hilbert, así como [Kers-68] y [Boll-63].
Problema abierto 4.1 : Clasifica los polígonos que teselan el plano.

En particular, dado un pentágono convexo $P$, es un problema abierto determinar las condiciones necesarias y suficientes para que $P$ enlose el plano.

En efecto, dados los ejercicios y observaciones precedentes, así como la siguiente proposición, el problema de caracterizar cuáles son los polígonos convexos de $n$ lados que teselan el plano queda por tanto resuelto con la única excepción del caso $n = $5.

Hay buenas condiciones suficientes para que un polígono $P$ forme mosaicos en el plano, por ejemplo, el de [Scha-80].

De manera más general, notemos que las teselaciones ofrecen muchos problemas abiertos de formulación simple ; se pueden encontrar pequeñas colecciones en el capítulo C de [CrFG-91] y el capítulo 4 de [BrMP-05].

Proposición 4.2 : Sea $\left( P^{(\omega)} \right)_{\omega \in \Omega}$ una familia de polígonos convexos tal que existe
  • un límite superior $d < \infty$ de los diámetros [5] de $P^{\omega}$,
  • un límite inferior $A > 0$ de las áreas de $P^{\omega}$,
  • un límite superior $B < \infty$ de las áreas de $P^{\omega}$.

Si cada uno de los $P^{\omega}$ tiene al menos $7$ lados, entonces esta familia no forma teselaciones en el plano.

Observaciones.

  1. La siguiente demostración es una paráfrasis de la de [Nive-78].
  2. El número de lados de $P^{(\omega)}$, al menos $7$, puede variar con $\omega$.
  3. Del teorema isoperimétrico se deduce que $B = \pi d^2 / 4$ es correcto.
  4. La propuesta excluye la existencia de ciertas disposiciones estrictas y no estrictas del plano. Tenga en cuenta que una teselación no estricta con ciertos modelos $P^{\omega}$ siempre puede verse como un mosaico estricto con una familia de modelos obtenidos a partir de $P^{\omega}$ introduciendo vértices de ángulos internos $\pi$ en algunos lados de $P^{\omega}$. Por ejemplo, un heptágono regular, con $7$ ángulos $5\pi/7$, puede verse como un polígono con $14$ vértices, de los cuales $7$ tiene ángulos $5\pi/7$ y $7$ tiene ángulos $\pi$. Obsérvese que un mosaico no estricto que tiene un número finito de modelos se convierte en el segundo punto de vista en un mosaico estricto que puede requerir un número infinito de modelos.
  5. Como ejercicio : exhibe un heptágono no convexo que embaldosa el plano.

Demostración.

Supongamos por absurdo que existe un mosaico $\mathcal P = \left( P_i \right)_{i \in I}$ del plano por polígonos cada uno de los cuales es una copia de uno de los $P^{ (\omega)}$. Terminaremos con una contradicción.

Para todo $R > d$, definiremos y analizaremos subconjuntos finitos de $\mathcal P$. Primero pongamos

\[ J_- = \{j \in I \ \vert \ P_j \subset D_R \} , \]
donde $D_R$ designa el disco cerrado de radio $R$ centrado en el origen del plano.
Dada la hipótesis $R > d$, la unión $\bigcup_{j \in J_-}P_j$ contiene $D_{R-d}$. Sea $D_{Rd}^{aug}$ la unión de $\bigcup_{j \in J_-}P_j$ con las componentes conexas acotadas de $\mathbf E \setminus \bigcup_{j \in J_-}P_j$ , y hagamos
\[ J = \{j \in I \ \vert \ P_j \subset D_{R-d}^{aug} \} . \]

También definimos
\[ K_- = \{k \in I \ \vert \ P_k \subset D_{R+d} \} , \]
así como $K$ y $D_R^{aug}$, de modo que $J \subset K$ y

\[\begin{equation} D_{R-d} \, \subset \, D_{R-d}^{aug} = \bigcup_{j \in J} P_j \, \subset \, D_R \, \subset \, D_R^{aug} = \bigcup_{k \in K} P_k \, \subset \, D_{R+d} .\label{equation_1} \end{equation}\]

[Ejercicio : esbozar un dibujo de una situación en la que la inclusión $\bigcup_{j \in J_-} P_j \subset D_{R-d}^{aug}$ es estricta.]

Considere el gráfico plano finito formado por $P_j$ con $j \in J$, sea $f_{int}$ el número de sus caras (esta es la cardinalidad de $J$) y $s_{int}$ el número de sus vértices.
Análogamente para el grafo de plano finito formado por la $P_k$ con $k \in K$, de la que se observa $f = \vert K \vert$ el número de caras, $a$ el número de aristas y $s$ el número de vértices.
Las inclusiones de (5) y las suposiciones sobre $A$ y $B$ implican

\[\begin{equation}B f_{int} \, \ge \, 4 \pi (R-d)^2 \label{equation_2}\end{equation}\]

y

\[\begin{equation} A(f-f_{int}) \, \le \, 4 \pi (R+d)^2 - 4 \pi (R-d)^2 \label{equation_3}. \end{equation}\]

Para simplificar lo siguiente, ahora asumimos que $R \ge 2d$, de modo que las desigualdades (6) y (7) implican

\[\begin{equation} f_{int} \, \ge \, C_1 R^2 \label{equation_4} \end{equation}\]

y

\[\begin{equation} f - f_{int} \, \le \, C_2 R \label{equation_5} \end{equation}\]
para las constantes $C_1$ y $C_2$ dependiendo únicamente de $A$, $B$ y $d$. Dado que $D_R^{aug}$ es homeomorfo a un disco, también tenemos

\[\begin{equation} f + s \, = \, a + 1 \label{equation_6} \end{equation}\]
(relación de Euler).

Evaluemos de dos maneras la suma en $j \in J$ de los ángulos de las caras $P_j$. Por un lado, cada $P_j$ que tiene al menos $7$ lados, contribuye a esta suma en al menos $5 \pi$. Por otro lado, cada uno de los $s_{int}$ vértices del grafo plano de $P_j$ contribuye a esta suma en $2\pi$ si está dentro de $D_R^{aug}$ y en menos de $2\pi $ si está al borde de $D_R^{aug}$.
Por lo tanto $s_{int} 2 \pi \ge f_{int} 5 \pi$, o de nuevo

\[\begin{equation} 2 s_{int} \, \ge \, 5 f_{int} \label{equation_7} . \end{equation}\]

En el grafo plano asociado con $\left( P_k \right)_{k \in K}$, hay al menos $s_{int}$ vértices dentro de $D_R^{aug}$. Por la hipótesis de la convexidad de $P^{(\omega)}$, cada uno de estos vértices incide en al menos tres aristas. Luego,
\[\begin{equation} 2a \, \ge \, 3 s_{int} + 2 (s - s_{int}) \, = \, 2s + s_{int} . \label{equation_8} \end{equation}\]
Usando sucesivamente las relaciones $\ref{equation_6}$ y $\ref{equation_8}$, obtenemos primero $2s + 2f > 2a \ge 2s + s_{int}$, por lo tanto $2f > s_{int} $, luego usando $\ref{equation_7}$
\[\begin{equation} 4f \, > 5f_{int} \quad \text{o bien} \quad 4(f-f_{int}) \, > \, f_{int} .\label{equation_9} \end{equation}\]
Para $R$ suficientemente grande, esta última relación es incompatible con $\ref{equation_4}$ y $\ref{equation_5}$, que es el absurdo anunciado.

Digresión sobre otro problema abierto, números de Heesch

Sea $P$ un polígono plano. Dada una parte $Q$ compacta y conexa del plano, decimos que $Q$ tiene una $P$-corona si existe un teselado que tiene las siguientes dos propiedades :

  • es una teselación de una parte del plano $C(Q)$ que contiene $\{ x \in \mathbf E \ \vert \ d(x,Q) \le \epsilon \}$, para una constante adecuada $ \epsilon > 0$ ;
  • toda tesela de este teselado contenida en $C(Q) - Q$ es isométrica a $P$.

Para $k$ un entero $\ge 0$ o infinito, decimos que $Q$ tiene un número de Heesch al menos $k$ si, para todo $j \in \{1,2,..., k\} $, existe una $P$-corona $C^j(Q) = C(C^{j-1}(Q))$ de $C^{j-1}(Q)$. El número de Heesch de un polígono $P$ es el número entero (o el símbolo $\infty$) $k$ tal que $P$ tiene un número de Heesch al menos $k$, pero no tiene un número de Heesch $k+1$ (a tomar cum grano salis si $k = \infty$).

Por ejemplo : un pentágono regular tiene el número de Heesch cero, el polígono de la figura 5 tiene el número de Heesch $1$ y un triángulo tiene el número de Heesch $\infty$ (lo mismo para cualquier polígono que coloque mosaicos en el plano). La lista de ’’registros de Heesch’’ es muy corta :

  • (1968)
    H. Heesch define ’’su’’ número y describe un ejemplo del número de Heesch $1$ (a posteriori, se pueden encontrar ejemplos anteriores a la definición de Heesch) ;
  • (1991)
    A. Fontaine describe polígonos de Heesch número $2$ y R. Ammann presenta un ejemplo de Heesch número $3$ (el récord se mantendrá durante una docena de años) ;
  • (2004)
    C. Mann describe ejemplos de números de Heesch $4$ y $5$ (parcialmente ’’pruebas de computadora’’).
Problemas de Heesch 4.3 :

Es un problema abierto saber qué números enteros son números de Heesch, e incluso saber si existen números de Heesch finitos arbitrariamente grandes, e incluso saber si existe un polígono de número de Heesch $\ge 6 $.

Parece que, en el plano hiperbólico, no se conoce ningún ejemplo de un número de Heesch $\ge 2$. En el espacio euclidiano tridimensional, hay candidatos del número de Heesch $8$, pero ningún ejemplo con prueba que supere los números de Heesch conocidos para el plano.
En la esfera $\mathbf S^2$, hay un ejemplo del número de Heesch $3$.

Para todo esto, ver [Mann-04] y [Mann], así como el original [Hees-68] (página 23).

Figura 5 : número de Heesch 1.

Me gustaría agradecer a Réza Bourquin, quien me proporcionó las imágenes para este texto.

Referencias

[BaCo-87]
W.W. Rouse Ball et H.S.M. Coxeter,
Mathematical recreations and essays,
Thirteenth Edition, Dover, 1987.
[En fait, $27$e édition !
la première édition, de Ball seul, date de 1892,
les éditions de 1947, 1974 et 1987 sont à deux auteurs.]

[Boll-63]
B. Bollobás,
Filling the plane with congruent convex hexagons without overlapping,
Ann. Univ. Sci. Budapest, Eötvös Sect. Math.,
6 (1963), 117-123.

[Bolt-78]
V.G. Boltianskii,
Hilbert’s third problem,
J. Wiley, 1978.

[BrMP-05]
P. Brass, W.O.J. Moser et J. Pach,
Research problems in discrete geometry,
Springer, 2005.

[CoBG-08]
J.H. Conway, H. Burgiel et C. Goodman-Strauss,
The symmetries of things,
A.K. Peters, 2008.

[CrFG-91]
H.T. Croft, K.J. Falconer et R.K. Guy,
Unsolved problems in geometry,
Springer, 1991.

[Dude-70]
H.E. Dudeney,
Amusements in mathematics,
Dover, 1970.

[Fred-97]
G.N. Frederickson,
Dissections : plane & fancy,
Cambridge University Press, 1997.

[GrSh-87]
B. Grünbaum et G.C. Shephard,
Tilings and patterns,
Freeman and co, 1987.

[Hart-00]
R. Hartshorne,
Geometry : Euclid and beyond,
Springer, 2000.

[Hees-68]
H. Heesch,
Reguläres Parkettierungsproblem,
Westdeutscher Verlag, 1968.

[Hilb-71]
D. Hilbert,
Les fondements de la géométrie,
traduction, introduction et compléments de P. Rossier,
Dunod, 1971
(première édition,
Grundlagen der Geometrie, de 1899).

[Kepl-19]
J. Kepler,
Harmonice mundi,
C.H. Beck, Munich, Johannes Kepler gesammelte Werke,
Band VI, 1940 [première édition 1619].
Voir en particulier le
« Liber II, de congruentia figurarum harmonicarum »,
pages 65-89.

[Kers-68]
R.B. Kershner,
On paving the plane,
Amer. Math. Monthly 75:8 (1968), 839-844
[attention au théorème de cet article concernant les pentagones,
qui n’est pas correct].

[Mann-04]
C. Mann,
Heesch’s tiling problem,
Amer. Math. Monthly 111 (2004), 509-517.

[Mann]
C. Mann,
Heesch’s problem.

[Nive-78]
I. Niven,
Convex polygons that cannot tile the plane,
Amer. Math. Monthly 85:10 (1978), 785-792.

[Peri-73]
H. Perigal,
On geometric dissections and transformations,
The Messenger of Mathematics 1873, 103-106,
version en ligne.

[Rein-18]
K. Reinhardt,
Über die Zerlegung der Ebene in Polygone,
Dissertation der Naturwiss. Fakultät,
Universität Frankfurt/Main, Borna, 1918.

[Rous]
A. Rousseau,
Liste des animations du dossier « Dissection »,
en ligne.

[Scha-78]
D. Schattschneider,
Tiling the plane with congruent pentagons,
Mathematics magazine 51:1 (1978), 29-44.

[Scha-80]
D. Schattschneider,
Will it tile ? Try the Conway criterion !
Math. Mag. 53:4 (1980), 224-233.

[Scha-81]
D. Schattschneider,
In praise of amateurs,
in « The mathematical Gardner »,
A. Klarner éditeur, Wadsworth (1981), 140-166.

[Schw-93]
R.E. Schwartz,
Pappus’s theorem and the modular group,
Publ. Math. I.H.É.S. 78 (1993), 187-206.

[Schw-74] R.L.E. Schwarzenberger,
The $17$ plane symmetry groups,
Math. Gaz. 58 (1974), 123-131.

[Stei-74]
S.K. Stein,
Algebraic tiling,
Amer. Math. Monthly 81:5 (1974), 445-462.

[StSz-94]
S.K. Stein et S. Szabó,
Algebra and tiling,
Carus Mathematical Monograph 25,
Mathematical Association of America, 1994.

[Tess]
Tessellations.

[Tess.org]
Tessellations.org.

[Thur-89]
W.P. Thurston,
Groups, tilings, and finite state automata,
Lecture notes distributed in conjunction with
the Colloquium Lectures given at the ninety-second summer meeting
of the American Mathematical Society,
University of Colorado, Boulder,
August 7-10, 1989 (non publié).

[WaBG]
Wallace-Bolyai-Gerwien Theorem.

[Weyl-52]
H. Weyl,
Symmetry,
Princeton University Press, 1952.

[Zong-05]
C. Zong,
What is known about unit cubes,
Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 181-211.

Article original édité par Étienne Ghys

Notes

[1Hay una opción para esta definición, dependiendo de si se requiere que el grupo de simetría del teselado contenga una traslación, o dos traslaciones linealmente independientes . Resulta que, dada una familia $\mathcal M$ de modelos, existe una $\mathcal M$-teselación del plano cuyo grupo contiene una traslación si y solo si existe una $\mathcal M$-teselación del plano plano cuyo grupo contiene dos traslaciones linealmente independientes. Estoy seguro de que es un teorema, aunque no puedo señalar una referencia para la prueba del caso general.

[2En el 2º Congreso Internacional de Matemáticas, realizado en París en 1900, David Hilbert presentó una lista de $23$ problemas que consideraba importantes, lista que desempeñó un papel destacado en la investigación matemática en el siglo XX. En los capítulos 5 y 11 siguientes, volvemos a dos de las tres partes del problema 18.

[3Sobre los problemas de Hilbert, se puede leer este artículo.

[4No debe confundirse con lo que se llama ’’el’’ teorema de Pappus, que es un teorema en geometría proyectiva plana cuya conclusión es que una determinada terna de puntos están alineados. (Lectura sugerida : vea lo que un matemático de finales del siglo XX [Schw-93] pudo hacer con este ’’viejo’’ teorema de Pappus. )

[5El diámetro de una parte no vacía $P$ de un espacio equipado con una métrica es el número
\[ \text{diámetro}(P) \, =\, \sup_{x,y \in P}\big( \text{distancia}(x,y) \big) . \]

Partager cet article

Pour citer cet article :

Andrés Navas, Edgard Araya, Pilar Garcés — «Adornos y cristales, teselados y grupos, I» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?