Un desafío por semana

Agosto 2014, primer desafío

El 1ro agosto 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 1ro agosto 2014
Artículo original : Août 2014, 1er défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 31:

Encontrar todos los números primos $p$ , $q$ , $r$ tales que $\frac{p}{q}- \frac{4}{r+1}=1$ .

Solución del cuarto desafío de julio

Enunciado

La respuesta es $8$.

Se sabe que

$n^{1005}+20 = (n^{1005}-1)+21$

$ = [(n^3)^{335}-1]+21$

$ = (n^3-1)[(n^3)^{334}+(n^3)^{333}+\cdots + n^3 + 1] + 21$ .

Ahora bien, $n^3-1=(n^2+n+1)(n-1)$, por lo tanto $n^2+n+1$ divide $n^3-1$ . Así, $n^2+n+1$ dividirá $n^{1005}+20$ si $n^2+n+1$ divide $21$. Como $n^2+n+1>0$ para todo natural $n$, basta con considerar los divisores positivos de $21$, es decir, $1$ , $3$ , $7$ y $21$. Resolviendo las respectivas ecuaciones

$n^2+n+1 = 1,$

$n^2+n+1 = 3,$

$n^2+n+1 = 7,$

$n^2+n+1 = 21,$

se obtiene las $8$ soluciones $n=0$ , $-1$ , $1$ , $-2$ , $2$ , $-3$ , $4$ y $-5$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Agosto 2014, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’La cuártica de Klein’’, por Jos Leys.

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