Enunciado

La respuesta es $8$.

Se sabe que

$n^{1005}+20 = (n^{1005}-1)+21$

$ = [(n^3)^{335}-1]+21$

$ = (n^3-1)[(n^3)^{334}+(n^3)^{333}+\cdots + n^3 + 1] + 21$ .

Ahora bien, $n^3-1=(n^2+n+1)(n-1)$, por lo tanto $n^2+n+1$ divide $n^3-1$ . Así, $n^2+n+1$ dividirá $n^{1005}+20$ si $n^2+n+1$ divide $21$. Como $n^2+n+1>0$ para todo natural $n$, basta con considerar los divisores positivos de $21$, es decir, $1$ , $3$ , $7$ y $21$. Resolviendo las respectivas ecuaciones

$n^2+n+1 = 1,$

$n^2+n+1 = 3,$

$n^2+n+1 = 7,$

$n^2+n+1 = 21,$

se obtiene las $8$ soluciones $n=0$ , $-1$ , $1$ , $-2$ , $2$ , $-3$ , $4$ y $-5$.