Un desafío por semana

Agosto 2014, quinto desafío

El 29 agosto 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 30 agosto 2014
Artículo original : Août 2014, 5ème défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 35:

Se quiere hacer tarjetas para representar los números de $000$ a $999$. Cada tarjeta tiene un número, y algunas tarjetas representan $2$ números a la vez. Por ejemplo, al voltear la tarjeta con el $618$ se obtiene la tarjeta con el $819$. Si únicamente las tarjetas formadas a partir de las cifras $0$, $1$, $6$, $8$ y $9$ pueden ser leídas en ambos sentidos ¿cuántas cartas hay que hacer?

Solución del cuarto desafío de agosto

Enunciado

La respuesta es no.
Supongamos que sí se puede hacer tal repartición en $11$ sub-conjuntos $\{a, b, c\}$: se obtiene por ejemplo que $a+b=c$. De ese modo $a+b+c=2c$, por lo tanto la suma de los tres naturales de cada sub-conjunto es par. En consecuencia, la suma de los números $1$, $2$, $\dots$, $33$ debe ser par. Sin embargo, $1+2+\cdots+33=\frac{33\times 34}{2}=33 \cdot 17$ es un número impar, lo que es una contradicción. Es por eso que el conjunto $\{1, 2, 3, \dots, 32, 33\}$ no puede ser dividido en 11 sub-conjuntos con las propiedades pedidas.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Agosto 2014, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’La cuártica de Klein’’, por Jos Leys.

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