Un desafío a la semana

Agosto 2014, segundo desafío

El 8 agosto 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 9 agosto 2014
Artículo original : Août 2014, 2ème défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 32:

¿Cuál es el número máximo de números naturales de $~1$ a $~10$ que se puede escribir en una línea, sin repetición, de manera que para dos números consecutivos cualesquiera, siempre uno sea múltiplo del otro?

Solución del primer desafío de agosto

Enunciado

La respuesta es $~(p,q,r)=(3, 2, 7)$ , $(5, 3, 5)$ o $(7, 3, 2)$ .

Si $~p=q$ , la ecuación original se reduce a $~\frac{4}{r+1}=0$ , y no se obtiene solución. Por lo tanto, $~p\neq q$ , y se obtiene de la ecuación original

$\frac{4}{r+1} = \frac{p}{q}-1=\frac{p-q}{q}.$

Equivalentemente,

$r+1 = \frac{4q}{p-q},$

de donde se ve que $~p-q$ divide $~4q$, por lo tanto $~p-q$ puede ser igual a $~1, 2, 4, q, 2q$ o $~4q$. Observemos, sin embargo, que $~p-q$ no puede ser igual a $~q , 2q$ o $~4q$ visto que en ese caso $~p$ sería igual a $~2q, 3q$ o $~5q$, lo que es imposible, siendo $p$ primo. Analicemos los otros tres casos.

  • Si $~p-q=1$, entonces $~p$ y $~q$ son números primos consecutivos, es decir, $~q=2$, $~p=3$, $~r=7$.
  • Si $~p-q=2$, entonces $~p=q+2$, $~r=2q-1$. Como $~q$ es un número primo, o bien $~q=3$, o bien $q \equiv \pm 1 [3]$. Si $~q=3$, entonces $~p=5$ y $~r=5$.

Si $~q \equiv 1 [3]$, entonces $~p=q+2 \equiv 0 [3]$. Como $~p$ es un número primo, la única posibilidad es $~p=3$, y en consecuencia $~q=1$, que no es un número primo.

Ahora, si $~q \equiv -1 [3]$ entonces $r \equiv -2-1 \equiv 0 [3]$. Como $~r$ es un número primo, la única posibilidad es $~r=3$, y entonces $~q=2$ y $~p=4$, que no es un número primo.

  • Si $~p-q=4$ entonces $~r=q-1$, y $~r$ y $~q$ son números primos consecutivos. Por lo tanto, $~r=2$, $~q=3$ y $~p=7$.
Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Agosto 2014, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’La cuártica de Klein’’, por Jos Leys.

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