Un desafío a la semana

Agosto 2014, segundo desafío

Le 8 août 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 9 août 2014
Article original : Août 2014, 2ème défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 32 :

¿Cuál es el número máximo de números naturales de $~1$ a $~10$ que se puede escribir en una línea, sin repetición, de manera que para dos números consecutivos cualesquiera, siempre uno sea múltiplo del otro ?

Solución del primer desafío de agosto

Enunciado

La respuesta es $~(p,q,r)=(3, 2, 7)$ , $(5, 3, 5)$ o $(7, 3, 2)$ .

Si $~p=q$ , la ecuación original se reduce a $~\frac{4}{r+1}=0$ , y no se obtiene solución. Por lo tanto, $~p\neq q$ , y se obtiene de la ecuación original

$\frac{4}{r+1} = \frac{p}{q}-1=\frac{p-q}{q}.$

Equivalentemente,

$r+1 = \frac{4q}{p-q},$

de donde se ve que $~p-q$ divide $~4q$, por lo tanto $~p-q$ puede ser igual a $~1, 2, 4, q, 2q$ o $~4q$. Observemos, sin embargo, que $~p-q$ no puede ser igual a $~q , 2q$ o $~4q$ visto que en ese caso $~p$ sería igual a $~2q, 3q$ o $~5q$, lo que es imposible, siendo $p$ primo. Analicemos los otros tres casos.

  • Si $~p-q=1$, entonces $~p$ y $~q$ son números primos consecutivos, es decir, $~q=2$, $~p=3$, $~r=7$.
  • Si $~p-q=2$, entonces $~p=q+2$, $~r=2q-1$. Como $~q$ es un número primo, o bien $~q=3$, o bien $q \equiv \pm 1 [3]$. Si $~q=3$, entonces $~p=5$ y $~r=5$.

Si $~q \equiv 1 [3]$, entonces $~p=q+2 \equiv 0 [3]$. Como $~p$ es un número primo, la única posibilidad es $~p=3$, y en consecuencia $~q=1$, que no es un número primo.

Ahora, si $~q \equiv -1 [3]$ entonces $r \equiv -2-1 \equiv 0 [3]$. Como $~r$ es un número primo, la única posibilidad es $~r=3$, y entonces $~q=2$ y $~p=4$, que no es un número primo.

  • Si $~p-q=4$ entonces $~r=q-1$, y $~r$ y $~q$ son números primos consecutivos. Por lo tanto, $~r=2$, $~q=3$ y $~p=7$.
Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Étienne Ghys - Ilustraciones : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Agosto 2014, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - ’’La cuártica de Klein’’, por Jos Leys.

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