Un desafío por semana

Agosto 2015, cuarto desafío

El 28 agosto 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 28 agosto 2015
Artículo original : Août 2015, 4e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 35:

¿Cuántos tríos de números primos $(p, q, r)$ satisfacen la ecuación $p+q^2 + r^3=200$ ?

Solución del tercer desafío de agosto:

Enunciado

La respuesta es $80$.

De la desigualdad de la izquierda deducimos que $x\leq\frac{N}{2}$, y de la de la derecha que $x\geq \frac{N}{5}$. Buscaremos entonces el menor entero $N$ tal que existen $25$ enteros $x$ que cumplen $\frac{N}{5}\leq x\leq\frac{N}{2}$.

Supongamos primero que $\frac{N}{2}$ y $\frac{N}{5}$ sean números enteros. Entonces,

$\frac{N}{2}-\frac{N}{5}\geq 24.$

Esto nos da $3N\geq 240$, por lo que $N\geq 80$. Para $N=80$ tenemos $\frac{N}{5}=16$ y $\frac{N}{2}=40$. Hay $25$ enteros $x$ tales que $16\leq x\leq 40$, por lo tanto $N=80$ es el menor número divisible por $2$ y $5$ que satisface la desigualdad del problema.

Supongamos ahora que $\frac{N}{2}-\frac{N}{5}$ no sea entero. Entonces tenemos

$\frac{N}{2}-\frac{N}{5}\geq 25,$

de donde $3N\geq 250$ y $N\geq \frac{250}{3}>83$. Por lo tanto, el menor valor de $N$ es $80$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Agosto 2015, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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