Enunciado

La respuesta es $80$.

De la desigualdad de la izquierda deducimos que $x\leq\frac{N}{2}$, y de la de la derecha que $x\geq \frac{N}{5}$. Buscaremos entonces el menor entero $N$ tal que existen $25$ enteros $x$ que cumplen $\frac{N}{5}\leq x\leq\frac{N}{2}$.

Supongamos primero que $\frac{N}{2}$ y $\frac{N}{5}$ sean números enteros. Entonces,

$\frac{N}{2}-\frac{N}{5}\geq 24.$

Esto nos da $3N\geq 240$, por lo que $N\geq 80$. Para $N=80$ tenemos $\frac{N}{5}=16$ y $\frac{N}{2}=40$. Hay $25$ enteros $x$ tales que $16\leq x\leq 40$, por lo tanto $N=80$ es el menor número divisible por $2$ y $5$ que satisface la desigualdad del problema.

Supongamos ahora que $\frac{N}{2}-\frac{N}{5}$ no sea entero. Entonces tenemos

$\frac{N}{2}-\frac{N}{5}\geq 25,$

de donde $3N\geq 250$ y $N\geq \frac{250}{3}>83$. Por lo tanto, el menor valor de $N$ es $80$.