Un desafío por semana

Agosto 2015, primer desafío

Le 7 août 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 7 août 2015
Article original : Août 2015, 1er défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 32 :

Se pinta un cubo de arista $n$ cm, y después se corta en $n^3$ cubos pequeños de arista $1$ cm. De este modo, algunos cubos no tienen ninguna cara pintada, mientras que otros tienen una, dos o tres de sus caras pintadas. ¿Para qué valor de $n$ el número de cubos sin caras pintadas es igual al número de cubos con solo una cara pintada ?

Solución del quinto desafío de julio :

Enunciado

La respuesta es $22$ números.

Las multiplicaciones entre dos dígitos que dan $8$ como resultado son $1\times 8$ y $2\times 4$. Entonces $18$, $81$, $24$ y $42$ son los primeros números que tienen como imagen a $8$.

Debemos ahora encontrar los números cuyos productos sucesivos de sus dos dígitos nos dan al final $18$, $81$, $24$ o $42$. Observemos que los números mayores que $81=9\times 9$ no pueden ser el producto de dos dígitos. Analicemos estos cuatro casos.

  • Como $18=2\times 9=6\times 3$, entonces los números $29$, $92$, $36$ y $63$ tiene como imagen $8$ después de hacer el producto de sus dígitos dos veces.

$29$ es primo, entonces no hay números de dos dígitos cuyo producto sea $29$. En este caso diremos que el número $29$ es ’’último’’.

Como $92>81$, $92$ también es ’’último’’.

$36=9\times 4=6\times 6$, entonces los números $49$, $94$ y $66$ tienen $8$ como imagen. Además, $94$ es « último » pues $94>81$. $66$ también es ’’último’’ porque no puede ser el resultado de una multiplicación de dos dígitos. En efecto, su descomposición en factores primos es $6\times 11$.

$49$ se escribe como $49 = 7 \times 7 $ y $77$ es también ’’último’’. Finalmente, $63 = 7\times 9$ y entonces $79$ y $97$ tienen a $8$ como imagen, y además estos son ’’últimos’’ pues $79$ es primo y $97>81$.

  • $81=9\times 9$, tenemos entonces a $99$ entre los números cuya imagen es $8$. Como $99>81$, este es ’’último’’.
  • $24=3\times 8=4\times 6$, entonces $38$, $83$, $46$ y $64$ son números cuya imagen es $8$. Los números $38$, $83$ y $46$ no son el producto de dos cifras por lo que son ’’últimos’’. $64$ se escribe como $64=8\times 8$, entonces $88$ es parte de la solución y es « último » porque $88>81$.
  • Finalmente, $42=6\times 7$ y tenemos entonces a $76$ y $67$ como parte de la solución, y además estos dos son ’’últimos’’.

En conclusión, hay $22$ números de dos dígitos cuya imagen es $8$, estos son $18$, $81$, $24$, $42$, $29$, $92$, $36$, $63$, $49$, $94$, $66$, $79$, $97$, $77$, $99$, $38$, $83$, $46$, $64$, $88$, $76$, $67$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Agosto 2015, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - BRIGITTEMARCON / BIOSPHOTO

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