Enunciado

La respuesta es $11$ puntos.

Si equipamos a la recta con un sistema de coordenadas, podemos asociarle a cada punto un número real. Sean $x_1 < x_2 < \cdots < x_7$ las coordenadas de los siete puntos.

Marcamos con rojo los puntos medios de cada segmento cuyos extremos tienen estas coordenadas. Vamos a mostrar que hay al menos $11$ puntos rojos.

Si un segmento tiene como extremos los puntos $x_i$ y $x_j$, entonces su punto medio tendrá coordenadas $\frac{x_i+x_j}{2}$. Consideramos los $11$ puntos rojos que tienen coordenadas : $\frac{x_1+x_2}{2} < \frac{x_1+x_3}{2} < \frac{x_1+x_4}{2} < \frac{x_1+x_5}{2} < \frac{x_1+x_6}{2} < \frac{x_1+x_7}{2} < \frac{x_2+x_7}{2} < \frac{x_3+x_7}{2} < \frac{x_4+x_7}{2} < \frac{x_5+x_7}{2} < \frac{x_6+x_7}{2}$. Estos $11$ puntos son distintos, por lo que existen al menos $11$ puntos rojos.

Ahora, daremos un ejemplo en donde hay exactamente $11$ puntos. Esto mostrará que el menor número de puntos es $11$. Si sobre la recta uno escoge los $7$ puntos $0$, $2$, $4$, $6$, $8$, $10$ y $12$, podemos ver que solo tendremos en rojo a los $11$ puntos $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$, y ninguno más.