Enunciado

La respuesta es $360$.

La suma de los ángulo de un polígono convexo de $n$ lados es $180^{\circ}(n-2)$. Si uno de sus ángulos mide más de $180^\circ$, el polígono no puede ser convexo, por lo que la medida máxima entera de un ángulo es de $179^{\circ}$. Por lo tanto, podemos escribir la desigualdad $180(n-2) \leq 179n$, lo cual implica $n \leq 360$.

Veamos si podemos construir un polígono convexo con $360$ lados. Tomemos sobre una circunferencia $360$ puntos tales que la distancia entre dos puntos consecutivos sea siempre la misma. Estos $360$ puntos son los vértices de un polígono convexo con $360$ lados cuyos ángulos miden

$\frac{180^\circ(360-2)}{360}=180^\circ -1^\circ=179^\circ.$

Por lo tanto, el número máximo de lados es $360$.