Un desafío por semana

Agosto 2016, tercer desafío

El 19 agosto 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 19 agosto 2016
Artículo original : Août 2016, 3e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 34 :

Encontrar el número máximo de lados que un polígono convexo puede tener si todos sus ángulos miden un número entero de grados.

Recuerda que un polígono es convexo si para cualquier par de puntos al interior de este, el segmento que los une se encuentra al interior también.

Solución del segundo desafío de agosto:

Enunciado

La respuesta es $\frac{2}{27}\, \mbox{cm}^2$.

Denotemos como $\mbox{área}(XYZ)$ al área del triángulo $XYZ$. Como $XZ$ es paralela a $YC$, al usar el teorema de Tales tenemos $\frac{1}{2} =\frac{AX}{XY}=\frac{AZ}{ZC}$, de donde $ZC=2AZ$. Del mismo modo, al usarlo con $YZ$ paralela a $BC$, tenemos

$\frac{YZ}{BC}= \frac{AY}{AB}=\frac{AZ}{AC}=\frac{AZ}{AZ+ZC}=\frac{1}{3}.$

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Como los triángulos $XYZ$ y $AYZ$ tienen la misma altura desde $Z$, tenemos

$\frac{\mbox{área}(XYZ)}{\mbox{área}(AYZ)}=\frac{XY}{AY}=\frac{2AX}{AX+XY}=\frac{2AX}{3AX}=\frac{2}{3}.$

Similarmente, los triángulos $AYC$ y $ABC$ tienen la misma altura desde $C$; por lo tanto

$\frac{\mbox{área}(AYC)}{\mbox{área}(ABC)}=\frac{AY}{AB}=\frac{1}{3}.$

Para terminar, los triángulos $AYZ$ y $AYC$ tienen en común la base $AY$. Denotemos como $S$ y $T$ a los puntos de $AY$ donde caen sus respectivas alturas. Tenemos que los triángulos $ASZ$ y $ATC$ son semejantes pues sus ángulos son iguales. Luego,

$\frac{\mbox{área}(AYZ)}{\mbox{área}(AYC)}=\frac{SZ}{TC}=\frac{AZ}{AC}=\frac{1}{3}.$

Por lo tanto,
$\mbox{área}(XYZ)=\frac{2}{3}\mbox{área}(AYZ)=\frac{2}{9}\mbox{área}(AYC)=\frac{2}{27}\mbox{área}(ABC)=\frac{2}{27}\,\mbox{cm}^2.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Agosto 2016, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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