Un desafío por semana

Agosto 2017, cuarto desafío

El 27 agosto 2017  - Escrito por  Ana Rechtman
El 25 agosto 2017
Artículo original : Août 2017, 4e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 34 :

Sean $a$ y $b$ números enteros tales que $15>a >b >0$ y

$\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\dfrac{73}{3}.$

Encontrar el valor de $a-b$.

Solución del tercer desafío de agosto:

Enunciado

La respuesta es $10$.

Llamemos $A$ al resultado del cálculo. Los números primos menores que $20$ son $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ y $19$, es decir, $8$ números en total. Dado que tenemos $8$ cuadros, tenemos que ubicar todos los números.
Queremos que $A$ sea el mayor número posible, por lo que el numerador de la fracción debe ser lo más grande posible y el denominador lo más pequeño posible. La suma de los ocho números es $2+3+5+7+11+13+17+19=77$, por lo que buscamos un $x$ entre estos números tal que

$\frac{77-x}{x}=\frac{77}{x}-1$

sea el mayor entero posible. Como el menor divisor primo de $77$ es $7$, el mayor valor entero para el cociente es

$\frac{2+3+5+11+13+17+19}{7}=10.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Agosto 2017, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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