Un desafío por semana

Agosto 2017, primer desafío

Le 4 août 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 4 août 2017
Article original : Août 2017, 1er défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 31 :

Si le restamos a un número de dos dígitos $x$ el número obtenido al intercambiar sus dígitos, obtenemos un cubo. ¿Cuántos valores posibles hay para $x$ ?

Solución del cuarto desafío de julio :

Enunciado

La respuesta es $x = \dfrac{27-9\sqrt{5}}{2}$.

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En la parte inferior de la figura de la derecha tenemos un triángulo isósceles cuyos lados son $x$, $x$ y $12-2x$. Este triángulo puede ser dividido en dos triángulos rectángulos de lados $x$, $h$ y $6-x$. Usando el teorema de Pitágoras en uno de estos triángulos rectángulos, obtenemos :

$h^2=x^2-(6-x)^2=x^2-36+12x-x^2=12x-36,$

de donde $x=\frac{h^2+36}{12}$. Además, en la parte superior tenemos otro triángulo isósceles de lados $9$, $9$ y $12$, el cual también se puede dividir en dos triángulos rectángulos de lados $9$, $6$ y $9-h$. Usando nuevamente el teorema de Pitágoras, obtenemos :

$(9-h)^2 = 9^2-6^2$

$h^2-18h +36 = 0.$

Resolviendo esta ecuación, tenemos :

$h = \frac{18 \pm \sqrt{18^2-8\times 18}}{2}$

$= \frac{18 \pm 6\sqrt{5}}{2}.$

Los valores posibles de $h$ son entonces $h=9+3\sqrt{5}$ o $h=9-3\sqrt{5}$, pero como $h$ debe ser menor que $9$, el único valor posible es $h=9-3\sqrt{5}$. Finalmente,

$x=\frac{(9-3\sqrt{5})^2+36}{12}=\frac{162-54\sqrt{5}}{12}=\frac{27-9\sqrt{5}}{2}.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Agosto 2017, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JAN MIKO / SHUTTERSTOCK

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