Un desafío por semana

Agosto 2017, segundo desafío

Le 11 août 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 11 août 2017
Article original : Août 2017, 2e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 32 :

Encontrar el número de raíces reales distintas de la ecuación :

$x^6 +2x^5+2x^4+ 2x^3+ 2x^2+2x +1=0$.

Solución del primer desafío de agosto :

Enunciado

La respuesta es $22$.

Escribamos $x$ de la forma $10a+b$, con $a$ y $b$ sus dígitos. Tenemos entonces $10a+b-(10b+a) =9(a-b)=n^3$. Por lo tanto, $n^3$ es divisible por $3$, lo cual implica que $n$ es divisible por $3$. Podemos entonces escribirlo como $n=3k$. Substituyendo $n$ obtenemos $9(a-b)=27k^3$, y luego $a-b=3k^3$. Como $a$ y $b$ son dígitos y $a\neq0$, tenemos que $-9 < a-b \leq 9$, de donde $-3 < k^3\leq 3$, lo que implica que $k=0$ o $k=\pm 1$.

Si $k=0$, tenemos $a=b$, y las soluciones son : $11, 22, 33, \ldots, 99$.

Si $k=1$, tenemos $a-b=3$, y las soluciones son : $30, 41, 52, 63, 74, 85$ y $96$.

Si $k=-1$, tenemos $a-b=-3$, y las soluciones son : $14, 25, 36, 47, 58$ y $69$.

Por lo tanto, hay $22$ valores posibles para $x$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Agosto 2017, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JAN MIKO / SHUTTERSTOCK

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