Un desafío por semana

Agosto 2017, tercer desafío

Le 18 août 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 18 août 2017
Article original : Août 2017, 3e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 33 :

Al ubicar en los cuadros números primos distintos menores que $20$, ¿cuál es el mayor resultado entero posible ?

$\frac{\square+\square+\square+\square+\square+\square+\square}{\square}.$

Solución del segundo desafío de agosto :

Enunciado

La respuesta es una raíz.

La ecuación $x^6 - 1 = 0$ tiene dos raíces reales : $1$ y $-1$. Como tenemos la factorización $x^6 - 1 = (x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$, deducimos que la ecuación $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 = 0$ solo tiene la raíz real $x=-1$ (en efecto, podemos comprobar directamente que $x=1$ no es una raíz).

Observemos que $x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+2x+1 = (x+1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$. Dado que ambos factores solo tienen la raíz real $x=-1$, deducimos que esto se cumple también para su producto. Por lo tanto, la ecuación del enunciado solo tiene una raíz real : $-1$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Agosto 2017, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JAN MIKO / SHUTTERSTOCK

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