Un desafío por semana

Agosto 2018, cuarto desafío

Le 24 août 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 24 août 2018
Article original : Août 2018, 4e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019 !

Semana 34 :

En Piesraros, los hombres tiene el pie izquierdo dos tallas más grandes que el derecho, y las mujeres una talla más grande. Sin embargo, los zapatos se venden en pares de igual talla. Un grupo de amigos compró una colección de zapatos y solo quedaron dos : uno de talla $21$ y uno de talla $30$. ¿Cuál es el menor número de personas que podría tener el grupo ?

Solución del tercer desafío de agosto :

Enunciado

La respuesta es : no es posible.

Supongamos que sí podemos repartir los números en $11$ subconjuntos. Entonces, para cada uno de estos $11$ subconjuntos $\{a, b, c\}$, obtenemos, por ejemplo, que $a+b=c$. Por lo tanto, $a+b+c=2c$, y luego la suma de los tres enteros de cada subconjunto es par. En consecuencia, la suma de los números $1$, $2$, $\dots$, $33$ debe ser par.

Sin embargo
$1+2+\cdots+33=\frac{33\times 34}{2}=33 \cdot 17$ es un número impar, lo cual es una contradicción. Por esta razón,
\[\{1, 2, 3, \dots , 32, 33\}\]
no puede ser divisible en $11$ subconjuntos con las propiedades pedidas.

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Pour citer cet article :

— «Agosto 2018, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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