Un desafío por semana

Agosto 2018, primer desafío

Le 3 août 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 3 août 2018
Article original : Août 2018, 1er défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019 !

Semana 31 :

En una hoja rectangular de área $300\,\mathrm{cm}^2$ podemos dibujar el siguiente patrón de un cubo. ¿Cuál es el volumen del cubo ?

Solución del cuarto desafío de julio :

Enunciado

La respuesta es : $(p,q,r)=(3, 2, 7)$, $(5, 3, 5)$ o $(7, 3, 2)$.

Si $p=q$, la ecuación original se reduce a $\frac{4}{r+1}=0$, y no obtenemos soluciones. Luego, $p\neq q$, y obtenemos de la ecuación original

\[\begin{eqnarray*} \frac{4}{r+1} & = & \frac{p}{q}-1=\frac{p-q}{q}\\ r+1 & = & \frac{4q}{p-q}. \end{eqnarray*}\]

Vemos entonces que $p-q$ divide a $4q$, por lo que $p-q$ puede ser igual a $1, 2, 4, q, 2q$ o $4q$. Notemos que $p-q$ no puede ser igual a $q, 2q$ o $4q$, ya que en este caso $p$ sería igual a $2q, 3q$ o $5q$ lo que es imposible pues $p$ es primo. Analicemos los otros tres casos

  • (i) Si $p-q=1$, entonces $p$ y $q$ son números primos consecutivos, es decir, $q=2$, $p=3$, $r=7$.
  • (ii) Si $p-q=2$, entonces $p=q+2$, $r=2q-1$. Como $q$ es un primo tenemos o bien $q=3$, o $q \equiv \pm 1\, (\mbox{mod}\, 3)$. Si $q=3$, entonces $p=5$ y $r=5$.

Si $q \equiv 1 \,(\mbox{mod}\, 3)$, entonces $p=q+2 \equiv 0\,(\mbox{mod}\, 3)$. Como $p$ es un número primo, la única posibilidad es $p=3$, y por lo tanto $q=1$, el cual no es un número primo.

Por otra parte, si $q \equiv -1 \,(\mbox{mod}\, 3)$ entonces $r \equiv -2-1 \equiv 0 \,(\mbox{mod}\, 3)$. Como $r$ es primo, la única posibilidad es $r=3$, y luego $q=2$ y $p=4$, el cual no es un número primo.

  • (iii) Si $p-q=4$ entonces $r=q-1$, y $r$ y $q$ son primos consecutivos. Luego, $r=2$, $q=3$ y $p=7$.

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Pour citer cet article :

— «Agosto 2018, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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