Un desafío por semana

Agosto 2019, segundo desafío

Le 9 août 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 9 août 2019
Article original : Août 2019, 2e défi Voir les commentaires
Lire l'article en  

Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia) !

Semana 32

Con tres cerillos se puede formar un triángulo equilátero. ¿Es posible formar $7$ triángulos equiláteros como el primero con $9$ cerillos ?

Solución del primer desafío de agosto :

Enunciado

La solución es : $144$.

Si los números $a$, $b$, $c$ son tales que $0 < a < b < c$ y $c < a + b$, entonces existe un triángulo cuyos lados miden $a$, $b$ y $c$. Como los $a_i$ están dispuestos de manera creciente, por hipótesis se tiene que $a_1 + a_2\leqslant a_3$, $a_2 + a_3\leq a_4$, $a_3 + a_4\leq a_5,\dots, a_{10} + a_{11}\leq a_{12}$.

De las dos primeras desigualdades deducimos que
\[ a_1 + 2a_2\leq a_4, \]
y sumando a ésta desigualdad la primera, obtenemos que
\[ 2a_1 + 3a_2\leq a_5. \]

La suma de éstas dos últimas desigualdades es
\[ 3a_1 + 5a_2\leq a_6. \]

Continuemos de la misma manera hasta obtener el término $a_{12}$. Nótese que a cada paso el coeficiente de $a_1$ se obtiene sumando sus dos coeficientes previos, como en el caso de los números de Fibonacci ; los coeficientes de $a_2$ se comportan igualmente. Así pues, la última desigualdad sería
\[ 55a_1 + 89a_2\leq a_{12}. \]

Como $a_2\geq a_1$, tenemos que $a_{12}\geq 55a_1 + 89a_2\geq 144a_1$, y entonces $a_{12}/a_1\geq 144$. Además, como este valor lo podemos alcanzar si ponemos $a_1 = a_2 = 1$, $a_3 = 2$, $a_4 = 3$, $a_5 = 5,\ldots, a_{12} = 144$, entonces el valor más pequeño de la razón $a_{12}/a_1$ es $144$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2018, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2019 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

— «Agosto 2019, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - KUCHARSKI K. KUCHARSKA / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?