8 février 2012

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Alexandre Grothendieck

Un voyage à la poursuite des choses évidentes

Philippe Douroux

Journaliste, ancien rédacteur en chef de Libération et Télérama.

Une première version [1] de cet article est parue dans le mensuel GQ d’octobre 2011. Nous remercions GQ de nous permettre d’en présenter aujourd’hui une nouvelle version.

Les mathématiciens français se voient aujourd’hui décerner les plus hautes récompenses de la planète. Alexandre Grothendieck les a toutes reçues (et dénigrées) avant eux. Nous avons retrouvé ce génie retiré sur les contreforts des Pyrénées, qui, toute sa vie, a suivi une quête d’ordre absolu. En révolutionnant sa discipline, aurait-il percé le secret le plus fondamental de l’univers ?

Le portail gris aurait besoin d’un coup de peinture, mais la maison résiste au temps et au manque d’entretien. On n’ose pas frapper, l’hom­me qui vit là a fini par se fâcher avec ses voisins, un homme d’une cinquantaine d’années et sa mère, qui lui rendaient quelques services. La raison de cette ultime chamaillerie ? « J’ai arraché quelques brins d’herbes qui poussaient sur la partie goudronnée du chemin qui mène à la maison. Qu’est-ce que j’avais pas fait… », explique le voisin.

L’un des plus grands esprits du XXe siècle vit comme Edmond Dantès au château d’If. Son île se limite à quelques mètres carrés loin de la mer, mais la solitude est complète. Mathématicien de génie, il vit retranché depuis vingt ans, enfermé dans une paranoïa qui le pousse à fuir le monde des hommes et ses compromis. Il a entrevu la perfection dans les mathématiques et voudrait la retrouver parmi les hommes. Devant cette impossibilité, il s’est retiré, espérant peut-être s’installer à la place de Dieu comme le héros de Dumas, devenu le comte de Monte-Cristo, après quatorze ans de cachot.

À La recherche d’un mystère

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En 1988, l’une de ses dernières photos connues

Alexandre Grothendieck, 83 ans [2], ne veut voir personne et ceux qui veillent sur lui, à distance, refusent de vous donner le nom de son village. Les chemins pour l’obtenir sont aussi compliqués qu’une équation à $n$ inconnues. Et pour qu’on vous le confie, il faut promettre de ne pas le rendre public. Un courrier déposé dans sa boîte à lettres, quelques lignes suspicieuses en réponse, et des courriers retournés « à l’envoyeur » seront nos seuls contacts avec lui.

Les plus prestigieuses universités l’accueilleraient volontiers pour conforter leur renommée internationale, mais lui préfère achever sa vie en reclus dans les Pyrénées, dont les routes tournicotantes du piémont semblent faites pour envoyer les visiteurs au diable. Longtemps, il a jonglé avec les X et les Y comme Victor Hugo jouait avec les mots pour écrire Les Misérables, ou comme Beethoven plaçait les notes sur la partition pour composer la Neuvième Symphonie. Ses pairs le placent au niveau d’Albert Einstein, dont il partage l’aversion pour l’apprentissage scolaire, l’indépendance de pensée et une puissance de travail stupéfiante [3].

Un coup d’œil chez les voisins d’en face

Du point de vue mathématique, l’idée nouvelle d’Einstein était banale. Du point de vue de notre conception de l’espace physique par contre, c’était une mutation profonde, et un « dépaysement » soudain. La première mutation du genre, depuis le modèle mathématique de l’espace physique dégagé par Euclide il y avait 2400 ans, et repris tel quel pour les besoins de la mécanique par tous les physiciens et astronomes depuis l’antiquité (y inclus Newton), pour décrire les phénomènes mécaniques terrestres et stellaires.

Cette idée initiale d’Einstein s’est par la suite beaucoup approfondie, s’incarnant en un modèle mathématique plus subtil, plus riche et plus souple, en s’aidant du riche arsenal des notions mathématiques déjà existantes. Avec la « théorie de la relativité généralisée », cette idée s’élargit en une vaste vision du monde physique, embrassant dans un même regard le monde subatomique de l’infiniment petit, le système solaire, la voie lactée et les galaxies lointaines, et le cheminement des ondes électromagnétiques dans un espace-temps courbé en chaque point par la matière qui s’y trouve. C’est là la deuxième et la dernière fois dans l’histoire
de la cosmologie et de la physique (à la suite de la première grande synthèse de Newton il y a trois siècles), qu’est apparue une vaste vision unificatrice, dans le langage d’un modèle mathématique, de l’ensemble des phénomènes physiques dans l’Univers.

[...] La comparaison entre ma contribution à la mathématique de mon temps, et celle d’Einstein à la physique, s’est imposée à moi pour deux raisons : l’une et l’autre œuvre s’accomplit à la faveur d’une mutation de la conception que nous avons de « l’espace » (au sens mathématique dans un cas, au sens physique dans l’autre) ; et l’une et l’autre prend la forme d’une vision unificatrice, embrassant une vaste multitude de phénomènes et de situations qui jusque là apparaissaient comme séparés les uns des autres. Je vois là une parenté d’esprit évidente entre son œuvre et la mienne.

Cette parenté ne me semble nullement contredite par une différence de « substance » évidente. Comme je l’ai déjà laissé entendre tantôt, la mutation einsteinienne concerne la notion d’espace physique, alors qu’ Einstein puise dans l’arsenal des notions mathématiques déjà connues, sans avoir jamais besoin de l’élargir, voire de le bouleverser. Sa contribution a consisté à dégager, parmi les structures mathématiques connues de son temps, celles qui étaient le mieux aptes à servir de « modèles » au monde des phénomènes physiques, en lieu et place du modèle moribond légué par ses devanciers. En ce sens, son œuvre a bien été celle d’un physicien, et au delà, celle d’un « philosophe de la nature », au sens où l’entendaient Newton et ses contemporains. Cette dimension « philosophique » est absente de mon œuvre mathématique, où je n’ai jamais été amené à me poser de question sur les relations éventuelles entre les constructions conceptuelles « idéales », s’effectuant dans l’Univers des choses mathématiques, et les phénomènes qui ont lieu dans l’ Univers physique (voire même, les événements vécus se déroulant dans la psyché). Mon œuvre a été celle d’un mathématicien, se détournant délibérément de la question des « applications » (aux autres sciences), ou des « motivations » et des racines psychiques de mon travail. D’un mathématicien, en plus, porté par son génie très particulier à élargir sans cesse l’arsenal des notions à la base même de son art. C’est ainsi que j’ai été amené, sans même m’en apercevoir et comme en jouant, à bouleverser la notion la plus fondamentale de toutes pour le géomètre : celle d’espace (et celle de « variété »), c’est-à-dire notre conception du « lieu » même où vivent les êtres géométriques.

Récoltes et Semailles, § 2.10. Un coup d’œil chez les voisins d’en face

Claire Voisin, mathématicienne, membre de l’Académie des sciences, n’apprécie ni l’homme ni sa manière de concevoir les maths, trop monumentale, mais elle s’arrête un instant quand on lui demande quel autre mathématicien a la dimension d’Alexandre Grothendieck. La réponse vient de sa voix douce, comme une évidence : « Il n’y en a pas… » Ni Hilbert, ni Cantor, ni Gauss, ni Poincaré, Henri, le cousin de Raymond, ni Weil, André, le frère de Simone

Une pensée féconde

Si les récompenses permettent de mesurer le talent, alors le sien paraît immense. Il obtient en 1966 la médaille Fields, souvent considérée comme le Nobel des mathématiques. Celle-ci est attribuée tous les quatre ans à des chercheurs de moins de 40 ans.

Alexandre Grothendieck présenté par Jean Dieudonné au Congrès international des mathématiciens de 1966

Alexandre Grothendieck n’a pas 40 ans, et déjà l’ampleur de son œuvre et l’étendue de son influence sur les mathématiques contemporaines sont telles qu’il n’est pas possible d’en donner autre chose qu’une idée très déformée dans un aussi bref exposé.

[...] S’il fallait chercher une parenté spirituelle à Grothendieck, c’est à Hilbert, me semble-t-il, qu’on pourrait le mieux le comparer : comme Hilbert, sa devise pourrait être : « simplifier en généralisant », en recherchant les ressorts profonds des phénomènes mathématiques ; mais, comme Hilbert aussi, lorsque cette analyse en profondeur a conduit à un point où seule l’attaque de front reste possible, il trouve presque toujours dans sa riche imagination le bélier qui enfonce l’obstacle. La comparaison est peut-être lourde à porter, mais Grothendieck est de taille à n’en pas être accablé.

Le texte complet est disponible sur le site de l’Union mathématique internationale

Ensuite, vient la médaille Émile Picard, de l’Académie des sciences, en 1977 ; puis, en 1988, le Prix Crafoord [4], créé par l‘Académie royale de Suède pour mettre en avant les sciences oubliées par Alfred Nobel. Lui ne leur accorde pas grande importance. La première, il la vendra aux enchères pour reverser l’argent au gouvernement du Nord Vietnam en guerre contre l’Oncle Sam. La seconde finira en casse-noisettes, qualifié de « très efficace », chez un ancien élève.

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En guise de casse-noisettes...

Quant au prix Crafoord, couron­nement d’une carrière scientifique, il le ­refusera tout simplement. L’argent (270 000 dollars, soit 1,5 million de francs à l’époque) ne l’intéresse pas et les honneurs l’insupportent. Et si, comme il le dit lui-même dans sa lettre de refus adressée au secrétaire de l’Académie suédoise, il attend le jugement du temps pour évaluer la fécondité de ses travaux, alors sa dimension ne fait plus de doute.

La lettre de Grothendieck à l’Académie royale des sciences de Suède, publiée dans Le Monde du 4 mai 1988

Je suis sensible à l’honneur que me fait l’Académie royale des sciences de Suède en décidant d’attribuer le prix Crafoord pour cette année, assorti d’une somme importante, en commun à Pierre Deligne (qui fut mon élève) et à moi-même. Cependant, je suis au regret de vous informer que je ne souhaite pas recevoir ce prix (ni d’ailleurs aucun autre), et ceci pour les raisons suivantes.

  1. Mon salaire de professeur, et même ma retraite à partir du mois d’octobre prochain, est beaucoup plus que suffisant pour mes besoins matériels et pour ceux dont j’ai la charge ; donc je n’ai aucun besoin d’argent. Pour ce qui est de la distinction accordée à certains de mes travaux de fondements, je suis persuadé que la seule épreuve décisive pour la fécondité d’idées ou d’une vision nouvelle est celle du temps. La fécondité se reconnaît à la progéniture, et non par les honneurs.
  2. Je constate par ailleurs que les chercheurs de haut niveau auxquels s’adresse un prix prestigieux comme le prix Crafoord sont tous d’un statut social tel qu’ils ont déjà en abondance et le bien-être matériel et le prestige scientifique, ainsi que tous les pouvoirs et prérogatives qui vont avec. Mais n’est-il pas clair que la surabondance des uns ne peut se faire qu’aux dépens du nécessaire des autres ?
  3. Les travaux qui me valent la bienveillante attention de l’Académie royale datent d’il y a vingt-cinq ans, d’une époque où je faisais partie du milieu scientifique et où je partageais pour l’essentiel son esprit et ses valeurs. J’ai quitté ce milieu en 1970 et, sans renoncer pour autant à ma passion pour la recherche scientifique, je me suis éloigné intérieurement de plus en plus du milieu des scientifiques.

Or, dans les deux décennies écoulées l’éthique du métier scientifique (tout au moins parmi des mathématiciens) s’est dégradée à un degré tel que le pillage pur et simple entre confrères (et surtout aux dépens de ceux qui ne sont pas en position de pouvoir se défendre) est devenu quasiment une règle générale, et qu’il est en tout cas toléré par tous, y compris dans les cas les plus flagrants et les plus iniques.
Dans ces conditions, accepter d’entrer dans le jeu des prix et des récompenses serait aussi donner ma caution à un esprit et à une évolution, dans le monde scientifique, que je reconnais comme profondément malsains, et d’ailleurs condamnés à disparaître à brève échéance tant ils sont suicidaires spirituellement, et même intellectuellement et matériellement.

C’est cette troisième raison qui est pour moi, et de loin, la plus sérieuse. Si j’en fais état, ce n’est nullement dans le but de critiquer les intentions de l’Académie royale dans l’administration des fonds qui lui sont confiés. Je ne doute pas qu’avant la fin du siècle, des bouleversements entièrement imprévus vont transformer de fond en comble la notion même que nous avons de la « science », ses grands objectifs et l’esprit dans lequel s’accomplit le travail scientifique. Nul doute que l’Académie royale fera alors partie des institutions et des personnages qui auront un rôle utile à jouer dans un renouveau sans précédent, après une fin de civilisation également sans précédent.

Je suis désolé de la contrariété que peut représenter pour vous-même et pour l’Académie royale mon refus du prix Crafoord, alors qu’il semblerait qu’une certaine publicité ait d’ores et déjà été donnée à cette attribution, sans l’assurance au préalable de l’accord des lauréats désignés. Pourtant, je n’ai pas manqué de faire mon possible pour donner à connaître dans le milieu scientifique, et tout particulièrement parmi mes anciens amis et élèves dans le monde mathématique, mes dispositions vis-à-vis de ce milieu et de la « science officielle » d’aujourd’hui.
Il s’agit d’une longue réflexion, Récoltes et Semailles, sur ma vie de mathématicien, sur la création (et plus particulièrement la création scientifique) en général, qui est devenue en même temps, inopinément, un « tableau de mœurs » du monde mathématique entre 1950 et aujourd’hui. Un tirage provisoire (en attendant sa parution sous forme de livre), fait par les soins de mon université en deux cents exemplaires, a été distribué presque en totalité parmi mes collègues mathématiciens, et plus particulièrement parmi les géomètres algébristes (qui m’ont fait l’honneur de se souvenir de moi). Pour votre information personnelle, je me permets de vous en envoyer deux fascicules introductifs, sous une enveloppe séparée.

Alexandre Grothendieck

Arpenter l’infini

Sur les trente-huit médailles Fields attribuées depuis 1970, neuf des lauréats ont travaillé dans son sillage. Et il ne s’agit pas d’une école franco-française puisqu’on trouve pêle-mêle un Allemand, un Russe, un Japonais, un Belge, un Ukrainien, un Britannique, un Français et un Franco-Vietnamien [5]. L’ambition affichée très tôt par celui que son élève le plus proche, Pierre Deligne, appelle aujourd’hui encore « mon maître », était incommensurable, un comble pour celui qui se veut arpenteur de l’infini.

Les héritiers et le bâtisseur

La plupart des mathématiciens, je l’ai dit tantôt, sont portés à se cantonner dans un cadre conceptuel, dans un « Univers » fixé une bonne fois pour toutes — celui, essentiellement, qu’ils ont trouvé « tout fait » au moment où ils ont fait leurs études. Ils sont comme les héritiers d’une grande et belle maison toute installée, avec ses salles de séjour et ses cuisines et ses ateliers, et sa batterie de cuisine et un outillage à tout venant, avec lequel il y a, ma foi, de quoi cuisiner et bricoler. Comment cette maison s’est construite progressivement, au cours des générations, et comment et pourquoi ont été conçus et façonnés tels outils (et pas d’autres. . . ), pourquoi les pièces sont agencées et aménagées de telle façon ici, et de telle autre là — voilà autant de questions que ces héritiers ne songeraient pas à se demander jamais. C’est ça « l’ Univers », le « donné » dans lequel il faut vivre, un point c’est tout ! Quelque chose qui paraît grand (et on est loin, le plus souvent, d’avoir fait le tour de toutes ses pièces), mais familier en même temps, et surtout : immuable. Quand ils s’affairent, c’est pour entretenir et embellir un patrimoine : réparer un meuble bancal, crépir une façade, affûter un outil, voire même parfois, pour les plus entreprenants, fabriquer à l’atelier, de toutes pièces, un meuble nouveau. Et il arrive, quand ils s’y mettent tout entier, que le meuble soit de toute beauté, et que la maison toute entière en paraisse embellie.

[...] Je me sens faire partie, quant à moi, de la lignée des mathématiciens dont la vocation spontanée et la joie est de construire sans cesse des maisons nouvelles. Chemin faisant, ils ne peuvent s’empêcher d’inventer aussi et de façonner au fur et à mesure tous les outils, ustensiles, meubles et instruments requis, tant pour construire la maison depuis les fondations jusqu’au faîte, que pour pourvoir en abondance les futures cuisines et les futurs ateliers, et installer la maison pour y vivre et y être à l’aise. Pourtant, une fois tout posé jusqu’au dernier chéneau et au dernier tabouret, c’est rare que l’ouvrier s’attarde longuement dans ces lieux, où chaque pierre et chaque chevron porte la trace de la main qui l’a travaillé et posé. Sa place n’est pas dans la quiétude des univers tout faits, si accueillants et si harmonieux soient-ils — qu’ils aient été agencés par ses propres mains,
ou par ceux de ses devanciers. D’autres tâches déjà l’appelant sur de nouveaux chantiers, sous la poussée impérieuse de besoins qu’il est peut-être le seul à sentir clairement, ou (plus souvent encore) en devançant des besoins qu’il est le seul a pressentir. Sa place est au grand air. Il est l’ami du vent et ne craint point d’être seul
à la tâche, pendant des mois et des années et, s’il le faut, pendant une vie entière, s’il ne vient à la rescousse une relève bienvenue. Il n’a que deux mains comme tout le monde, c’est sûr — mais deux mains qui à chaque moment devinent ce qu’elles ont à faire, qui ne répugnent ni aux plus grosses besognes, ni aux plus délicates,
et qui jamais ne se lassent de faire et de refaire connaissance de ces choses innombrables qui les appellent sans cesse à les connaître. Deux mains c’est peu, peut-être, car le Monde est infini. Jamais elles ne l’épuiseront ! Et pourtant, deux mains, c’est beaucoup. . .

Récoltes et Semailles, §2.5. Les héritiers et le bâtisseur

Il s’agit d’unir la capacité de la géométrie à montrer et la puissance de l’algèbre à démontrer. Prenez un compas et tracez un cercle : vous faites de la géométrie. Écrivez $x^2 + y^2 = 1$ : vous faites de l’algèbre [6]. Pour rapprocher les deux mondes, il faut définir un langage commun, forger des outils capables d’établir les règles du grand architecte de l’univers. « Tout se passe comme s’il y avait un objet mystérieux, une raison unique, centrale qui permette d’expliquer toutes les autres », explique Claire Voisin. L’aboutissement s’appelle la « théorie des motifs », et demandera sans doute des décennies ou un autre Grothendieck pour aboutir.

La géométrie nouvelle — ou les épousailles du nombre et de la grandeur

On peut dire que « le nombre » est apte à saisir la structure des agrégats « discontinus », ou « discrets » : les systèmes, souvent finis, formés d’ « éléments » ou « objets » pour ainsi dire isolés les uns par rapport aux autres, sans quelque principe de « passage continu » de l’un à l’autre. « La grandeur » par contre est la qualité par excellence, susceptible de « variation continue » ; par là, elle est apte à saisir les structures et phénomènes continus : les mouvements, espaces, « variétés » en tous genres, champs de force etc. Ainsi, l’arithmétique apparaît (grosso-modo)
comme la science des structures discrètes, et l’analyse, comme la science des structures continues.

Quant à la géométrie, on peut dire que depuis plus de deux mille ans qu’elle existe sous forme d’une science au sens moderne du mot, elle est « à cheval » sur ces deux types de structures, les « discrètes » et les « continues ». Pendant longtemps d’ailleurs, il n’y avait pas vraiment « divorce », entre deux géométries qui auraient été d’espèce différente, l’une discrète, l’autre continue. Plutôt, il y avait deux points de vue différents dans l’investigation des mêmes figures géométriques : l’un mettant l’accent sur les propriétés « discrètes » (et notamment, les propriétés numériques et combinatoires), l’autre sur les propriétés « continues » (telles que la position dans l’espace ambiant, ou la « grandeur » mesurée en terme de distances mutuelles de ses points, etc.).

C’est à la fin du siècle dernier qu’un divorce est apparu, avec l’apparition et le développement de ce qu’on a appelé parfois la « géométrie (algébrique) abstraite ». Grosso-modo, celle-ci a consisté à introduire, pour chaque nombre premier p, une géométrie (algébrique) « de caractéristique p », calquée sur le modèle (continu) de la géométrie (algébrique) héritée des siècles précédents, mais dans un contexte pourtant, qui apparaissait comme irréductiblement « discontinu », « discret ». Ces nouveaux objets géométriques ont pris une importance croissante depuis les débuts du siècle, et ceci, tout particulièrement, en vue de leurs relations étroites avec l’arithmétique, la science par excellence de la structure discrète. Il semblerait que ce soit une des idées directrices dans l’œuvre d’André Weil, peut-être même la principale idée-force (restée plus ou moins tacite dans son œuvre écrite, comme il se doit), que « la » géométrie (algébrique), et tout particulièrement les géométries « discrètes » associées aux différents nombres premiers, devaient fournir la clef pour un renouvellement de vaste envergure de l’arithmétique. C’est dans cet esprit qu’il a dégagé, en 1949, les célèbres « conjectures de Weil ». Conjectures absolument époustouflantes, à vrai dire, qui faisaient entrevoir, pour ces nouvelles « variétés »
(ou « espaces ») de nature discrète, la possibilité de certains types de constructions et d’arguments qui jusque là ne semblaient pensables que dans le cadre des seuls « espaces » considérés comme dignes de ce nom par les analystes — savoir, les espaces dits « topologiques » (où la notion de variation continue a cours).

On peut considérer que la géométrie nouvelle est avant toute autre chose, une synthèse entre ces deux mondes, jusque là mitoyens et étroitement solidaires, mais pourtant séparés : le monde « arithmétique », dans lequel vivent les (soi-disants) « espaces » sans principe de continuité, et le monde de la grandeur continue,
où vivent les « espaces » au sens propre du terme, accessibles aux moyens de l’analyste et (pour cette raison même) acceptés par lui comme dignes de gîter dans la cité mathématique. Dans la vision nouvelle, ces deux mondes jadis séparés, n’en forment plus qu’un seul.

Récoltes et Semailles, §2.10. La géométrie nouvelle — ou les épousailles du nombre et de la grandeur

Les motifs, ou le cœur dans le cœur

Dans ma vision des motifs, ceux-ci constituent une sorte de « cordon » très caché et très délicat, reliant les propriétés algébro-géométriques d’une variété algébrique, à des propriétés de nature « arithmétique » incarnées par son motif. Ce dernier peut être considéré comme un objet de nature « géométrique » dans son esprit même, mais où les propriétés « arithmétiques » subordonnées à la géométrie se trouvent, pour ainsi dire, « mises à nu ». Ainsi, le motif m’apparaît comme le plus profond « invariant de la forme » qu’on a su associer jusqu’à présent à une variété algébrique, mis à part son « groupe fondamental motivique ». L’un et l’autre invariant représentent pour moi comme les « ombres » d’un « type d’homotopie motivique » qui resterait à décrire. C’est ce dernier objet qui me semble devoir être l’incarnation la plus parfaite de l’élusive intuition de « forme arithmétique » (ou « motivique ») d’une variété algébrique quelconque.

C’est là [...] la quintessence d’une idée d’une simplicité enfantine encore, délicate et audacieuse à la fois. J’ai développé cette idée, en marge des tâches de fondements que je considérais plus urgentes, sous le nom de « théorie des motifs » ou de « philosophie » (ou « yoga ») des motifs", tout au long des années 1963-69. C’est une théorie d’une richesse structurale fascinante, dont une grande partie est restée encore conjecturale.

Récoltes et Semailles, § 2.16. Les motifs — ou le cœur dans le cœur

« Alexandre représente le cas extrême du mathématicien qui cherche une approche globale, une compréhension totale. Il ne veut pas s’enfermer dans des cas précis, des exemples qui vont limiter sa réflexion ou la portée de son travail », résume son premier élève, Michel Demazure.

Point de vue et vision

Si j’ai excellé dans l’art du mathématicien, c’est moins par l’habileté et la persévérance à résoudre des problèmes légués par mes devanciers, que par cette propension naturelle en moi qui me pousse à voir des questions, visiblement cruciales, que personne n’avait vues, ou à dégager les « bonnes notions » qui manquaient (sans que personne souvent ne s’en soit rendu compte, avant que la notion nouvelle ne soit apparue), ainsi que les « bons énoncés » auxquels personne n’avait songé.

[...] Mais plus encore que vers la découverte de questions, de notions et d’énoncés nouveaux, c’est vers celle de points de vue féconds, me conduisant constamment à introduire, et à développer peu ou prou, des thèmes entièrement nouveaux, que me porte mon génie particulier. C’est là, il me semble, ce que j’ai apporté de plus
essentiel à la mathématique de mon temps. À vrai dire, ces innombrables questions, notions, énoncés dont je viens de parler, ne prennent pour moi un sens qu’à la lumière d’un tel « point de vue » — vu pour mieux dire, ils en naissent spontanément, avec la force de l’évidence ; à la même façon qu’une lumière (même diffuse) qui
surgit dans la nuit noire, semble faire naître du néant ces contours plus ou moins flous ou nets qu’elle nous révèle soudain. Sans cette lumière qui les unit dans un faisceau commun, les dix ou cent ou mille questions, notions, énoncés apparaîtraient comme un monceau hétéroclite et amorphe de « gadgets mentaux », isolés les uns des autres — et non comme les parties d’un Tout qui, pour rester peut-être invisible, se dérobant encore dans les replis de la nuit, n’en est pas moins clairement pressenti.

[...] Et il arrive, parfois, qu’un faisceau de points de vue convergents sur un même et vaste paysage, par la vertu de cela en nous apte à saisir l’Un à travers le multiple, donne corps à une chose nouvelle ; à une chose qui dépasse chacune des perspectives partielles, de la même façon qu’un être vivant dépasse chacun de ses
membres et de ses organes. Cette chose nouvelle, on peut l’appeler une vision. La vision unit les points de vue déjà connus qui l’incarnent, et elle nous en révèle d’autres jusque là ignorés, tout comme le point de vue fécond fait découvrir et appréhender comme partie d’un même Tout, une multiplicité de questions, de notions
et d’énoncés nouveaux.

Récoltes et Semailles, §2.6. Point de vue et vision

La mer qui monte

Prenons par exemple la tâche de démontrer un théorème qui reste hypothétique (à quoi, pour certains, semblerait se réduire le travail mathématique). Je vois deux approches extrêmes pour s’y prendre. L’une est celle du marteau et du burin, quand le problème posé est vu comme une grosse noix, dure et lisse, dont il
s’agit d’atteindre l’intérieur, la chair nourricière protégée par la coque. Le principe est simple : on pose le tranchant du burin contre la coque, et on tape fort. Au besoin, on recommence en plusieurs endroits différents, jusqu’à ce que la coque se casse — et on est content. Cette approche est surtout tentante quand la coque présente des aspérités ou protubérances, par où « la prendre ». Dans certains cas, de tels « bouts » par où prendre la noix sautent aux yeux, dans d’autres cas, il faut la retourner attentivement dans tous les sens, la prospecter avec soin, avant de trouver un point d’attaque. Le cas le plus difficile est celui où la coque est d’une rotondité et d’une dureté parfaite et uniforme. On a beau taper fort, le tranchant du burin patine et égratigne à peine la surface — on finit par se lasser à la tâche. Parfois quand même on finit par y arriver, à force de muscle et d’endurance.

Je pourrais illustrer la deuxième approche, en gardant l’image de la noix qu’il s’agit d’ouvrir. La première parabole qui m’est venue à l’esprit tantôt, c’est qu’on plonge la noix dans un liquide émollient, de l’eau simplement pourquoi pas, de temps en temps on frotte pour qu’elle pénètre mieux, pour le reste on laisse faire le temps. La coque s’assouplit au fil des semaines et des mois - quand le temps est mûr, une pression de la main suffit, la coque s’ouvre comme celle d’un avocat mûr à point ! Ou encore, on laisse mûrir la noix sous le soleil et sous la pluie et peut-être aussi sous les gelées de l’hiver. Quand le temps est mûr c’est une pousse délicate sortie de la substantifique chair qui aura percé la coque, comme en se jouant - ou pour mieux dire, la coque se sera ouverte d’elle-même, pour lui laisser passage.

L’image qui m’était venue il y a quelques semaines était différente encore, la chose inconnue qu’il s’agit de connaître m’apparaissait comme quelque étendue de terre ou de marnes compactes, réticente à se laisser pénétrer. On peut s’y mettre avec des pioches ou des barres à mine ou même des marteaux-piqueurs : c’est la première approche, celle du « burin » (avec ou sans marteau). L’autre est celle de la mer. La mer s’avance insensiblement et sans bruit, rien ne semble se casser rien ne bouge l’eau est si loin on l’entend à peine. . . Pourtant elle finit par entourer la substance rétive, celle-ci peu à peu devient une presqu’île, puis une île, puis un îlot, qui finit par être submergé à son tour, comme s’il s’était finalement dissous dans l’océan s’étendant à perte de vue...

Le lecteur qui serait tant soit peu familier avec certains de mes travaux n’aura aucune difficulté à reconnaître lequel de ces deux modes d’approche est « le mien ».

Récoltes et Semailles, § 18.2.6.4. La mer qui monte...

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La page de titre du premier volume des Éléments de Géométrie Algébrique

Un jour, un auditeur interrompt Alexandre Grothendieck quand celui-ci évoque un nombre premier pour les besoins de sa démonstration : « N’importe lequel ? » « Oui, par exemple 57 », répond le prof qui fait mine d’oublier, ou se fiche de savoir, que 57 n’a rien d’un nombre premier puisqu’il est divisible par 3 (19 x 3 = 57). 57 reste comme « le nombre premier de Grothendieck » [7].

Le titre de son grand ouvrage [8] montre la dimension qu’il entend donner à son travail. Les Éléments de géométrie algébrique, EGA pour les familiers, renvoient aux Éléments d’Euclide.

Il y a les mathématiques euclidiennes et les mathématiques d’après. Selon les premières, les droites parallèles ne se croisent pas, pour les secondes, la notion même de droites parallèles disparaît. Euclide avait raison pour les voies ferrées, mais tort pour la voie lactée, l’infini, comme Gauss et Riemann, deux mathématiciens de l’école allemande, l’ont démontré au XIXe siècle [9].

Les EGA, complétés par le fruit des sept Séminaires de Géométrie Algébrique du Bois Marie (SGA), un monument [10], de rigueur et de créativité, iront plus loin encore en remettant en cause la notion même d’espace [11].

La topologie ou l’arpentage des brumes


La notion d’ « espace » est sans doute une des plus anciennes en mathématique. Elle est si fondamentale dans notre appréhension « géométrique » du monde, qu’elle est restée plus ou moins tacite pendant plus de deux millénaires. C’est au cours du siècle écoulé seulement que cette notion a fini, progressivement, par se détacher de l’emprise tyrannique de la perception immédiate (d’un seul et même « espace » qui nous entoure), et de sa théorisation traditionnelle (« euclidienne »), pour acquérir son autonomie et sa dynamique propres. De nos jours, elle fait partie des quelques notions les plus universellement et les plus couramment utilisées en mathématique, familière sans doute à tout mathématicien sans exception. Notion protéiforme d’ailleurs s’il en fut, aux cents et mille visages, selon le type de structures qu’on incorpore à ces espaces, depuis les plus riches de toutes (telles les vénérables structures « euclidiennes », ou les structures « affines » et « projectives », ou encore
les structures « algébriques » des « variétés » de même nom, qui les généralisent et qui assouplissent) jusqu’aux plus dépouillées : celles où tout élément d’information « quantitatif » quel qu’il soit semble disparu sans retour, et où ne subsistent plus que la quintessence qualitative de la notion de « proximité » ou de celle de « limite » et la version la plus élusive de l’intuition de la forme (dite « topologique »). La plus dépouillée de toutes parmi ces notions, celle qui jusqu’à présent, au cours du demi-siècle écoulé, avait tenu lieu d’une sorte de vaste giron conceptuel commun pour englober toutes les autres, était celle d’espace topologique. L’étude de ces espaces constitue l’une des branches les plus fascinantes, les plus vivaces de la géométrie : la topologie.

Si élusif que puisse paraître de prime abord cette structure « de qualité pure » incarnée par un « espace » (dit, « topologique »), en l’absence de toute donnée de nature quantitative (telle la distance entre deux points, notamment) qui nous permette de nous raccrocher à quelque intuition familière de « grandeur » ou de « petitesse », on
est pourtant arrivé, au cours du siècle écoulé, à cerner finement ces espaces dans les mailles serrées et souples d’un langage soigneusement « taillé sur pièces ». Mieux encore, on a inventé et fabrique de toutes pièces des sortes de « mètres » ou de « toises » pour servir tout de même, envers et contre tout, à attacher des sortes de « mesures » (appelées « invariants topologiques ») à ces « espaces » tentaculaires qui semblaient se dérober, telles des brumes insaisissables, à toute tentative de mensuration. Il est vrai que la plupart de ces invariants, et les plus essentiels, sont de nature plus subtile qu’un simple « nombre » ou une « grandeur » — ce sont plutôt eux-mêmes des structures mathématiques plus ou moins délicates, attachées (à l’aide de constructions plus ou moins sophistiquées) à l’espace envisagé. L’un des plus anciens et des plus cruciaux de ces invariants, introduit déjà
au siècle dernier (par le mathématicien italien Betti), est formé des différents « groupes » (ou « espaces ») dits de « cohomologie », associés à l’espace.

[...] Peu de temps avant, notre conception de ces invariants de cohomologie s’était d’ailleurs vue enrichir et renouveler profondément par les travaux de Jean Leray (poursuivis en captivité en Allemagne, pendant la guerre, dans la première moitié des années quarante). L’idée novatrice essentielle était celle de faisceau (abélien)
sur un espace, auquel Leray associe une suite de « groupes de cohomologie » correspondants (dits « à coefficients dans ce faisceau »). C’était comme si le bon vieux « mètre cohomologique » standard dont on disposait jusqu’à présent pour « arpenter » un espace, s’était soudain vu multiplier en une multitude inimaginablement
grande de nouveaux « mètres » de toutes les tailles, formes et substances imaginables, chacun intimement adapté à l’espace en question, et dont chacun nous livre à son sujet des informations d’une précision parfaite, et qu’il est seul à pouvoir nous donner. C’était là l’idée maîtresse dans une transformation profonde dans
notre approche des espaces en tous genres, et sûrement une des idées les plus cruciales apparues au cours de ce siècle.

Récoltes et Semailles, §2.12. La topologie — ou l’arpentage des brumes

Les topos — ou le lit à deux places

Le point de vue et le langage des faisceaux introduit par Leray nous a amené à regarder les « espaces » et « variétés » en tous genres dans une lumière nouvelle. Ils ne touchaient pas, pourtant, à la notion même d’espace, se contentant de nous faire appréhender plus finement, avec des yeux nouveaux, ces traditionnels « espaces », déjà familiers à tous. Or, il s’est avéré que cette notion d’espace est inadéquate pour rendre compte des « invariants topologiques » les plus essentiels qui expriment la « forme » des variétés algébriques « abstraites » (comme celles auxquelles s’appliquent les conjectures de Weil), voire celle des « schémas » généraux (généralisant les anciennes variétés). Pour les « épousailles » attendues, « du nombre et de la grandeur », c’était comme un lit décidément étriqué, où l’un seulement des futurs conjoints (à savoir, l’épousée) pouvait à la rigueur trouver à se nicher tant bien que mal, mais jamais des deux à la fois ! Le « principe nouveau » qui restait à trouver,
pour consommer les épousailles promises par des fées propices, ce n’était autre aussi que ce « lit » spacieux qui manquait aux futurs époux, sans que personne jusque là s’en soit seulement aperçu. . .

Ce « lit à deux places » est apparu (comme par un coup de baguette magique. . . ) avec l’idée du topos. Cette idée englobe, dans une intuition topologique commune, aussi bien les traditionnels espaces (topologiques), incarnant le monde de la grandeur continue, que les (soi-disant) « espaces » (ou « variétés ») des géomètres
algébristes abstraits impénitents, ainsi que d’innombrables autres types de structures, qui jusque là avaient semblé rivées irrémédiablement au « monde arithmétique » des agrégats « discontinus » ou « discrets ».

Récoltes et Semailles, §2.13 Les topos — ou le lit à deux places


Les troubles de l’histoire

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Sascha Shapiro et Hanka Grothendieck

À l’origine, celui qui vise aujourd’hui le tout n’était rien.

Alexandre Grothendieck voit le jour en 1928, à Berlin. Ses parents guettent l’imminence du meilleur, l’avènement d’une société communiste libertaire, quand Hitler s’apprête à prendre le pouvoir cinq ans plus tard. Son père, Alexander Shapiro – ou Tanaroff, patronyme du faux passeport qui lui servira tout au long de sa vie –, juif né en 1889 à Novozybkov, a déjà participé à la Révolution de 1905 contre le Tsar de toutes les Russies, et à celle de février 1917. Quand les bolcheviks chassent les anarchistes, il entame une traversée de l’Europe en se jouant des frontières et des polices. Sa mère, Hanka Grothendieck, née dans le nord de l’Allemagne, a pris ses distances avec une famille protestante petite-bourgeoise.

En 1933, le couple abandonne son fils à Berlin et quitte l’Allemagne pour Paris, avant de passer les Pyrénées pour participer à la Guerre civile espagnole.

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Grothendieck vers l’âge de cinq ans

En octobre 1939, en France, le président du Conseil Édouard Daladier ouvre des camps d’internement pour enfermer les « étrangers indésirables », les anarchistes, les communistes, les Allemands et plus généralement tous les « suspects ». Alexander Shapiro se retrouve au Vernet d’Ariège. Il connaîtra ensuite Noé (Haute-Garonne) puis Drancy et Auschwitz, où il disparaît le 14 août 1942. Hanka, elle, se retrouve internée avec son fils au camp de Rieucros (Lozère), où sont enfermées des femmes jugées « suspectes ». Les enfants, les plus grands en tout cas, peuvent aller à l’école.

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Camp de Rieucros
Dessin et plaque commémorative (fonds Sarrut)

Alexandre Grothendieck racontera dans Récoltes et Semailles, une autobiographie écrite vers 1985 qui ne trouva pas d’éditeur mais dont des extraits ont fuité sur Internet [12], qu’il pouvait se rendre à pied au lycée de Mende, à trois kilomètres de là. Bon élève, « sans être brillant », dit-il, il fait des maths comme les enfants imaginent des histoires de pirates. Par jeu. « J’ai appris par une détenue, Maria, la définition du cercle [l’ensemble des points situés à la même distance d’un point]. Elle m’avait impressionné par sa simplicité et son évidence, alors que la rotondité parfaite du cercle m’apparaissait comme une réalité mystérieuse » [13], explique-t-il.

L’élève indépendant

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Alexandre Grothendieck au collège Cévenol (1942-44)

À partir de ce moment, Alexandre Grothendieck va suivre un cursus scolaire aussi banal qu’incroyable. Il ira jusqu’au bac au collège cévenol du Chambon-sur-Lignon, où le pasteur Trocmé a organisé un sauvetage à grande échelle des enfants juifs. « Quand on était averti par la police locale qu’il y aurait des rafles de la Gestapo, on allait se cacher dans les bois pour une nuit ou deux, par petits groupes de deux ou trois, sans trop nous rendre compte qu’il y allait bel et bien de notre peau » [14], raconte-t-il très simplement dans Récoltes et Semailles.
Avec son bac, il s’inscrit à la fac de Montpellier où il ne brille pas en cours. Il n’y va pratiquement pas et sera même contraint de repasser l’épreuve d’astronomie. Bossant dans son coin, il redéfinit par ­lui-même entre 17 et 20 ans l’intégrale de Lebesgue, qui date de 1902 et permet de calculer des volumes d’objets très irréguliers [15].

La magie des choses

Ce qui me satisfaisait le moins, dans nos livres de maths, c’était l’absence de toute définition sérieuse de la notion de longueur (d’une courbe), d’aire (d’une surface), de volume (d’un solide). Je me suis promis de combler cette lacune, dès que j’en aurais le loisir. J’y ai passé le plus clair de mon énergie entre 1945 et 1948,
alors que j’étais étudiant à l’Université de Montpellier. Les cours à la Fac n’étaient pas faits pour me satisfaire. Sans me l’être jamais dit en clair, je devais avoir l’impression que les profs se bornaient à répéter leurs livres, tout comme mon premier prof de maths au lycée de Mende. Aussi je ne mettais les pieds à la Fac que de loin en loin, pour me tenir au courant du sempiternel « programme ». Les livres y suffisaient bien, au dit programme, mais il était bien clair aussi qu’ils ne répondaient nullement aux questions que je me posais. À vrai dire, ils ne les voyaient même pas, pas plus que mes livres de lycée ne les voyaient. Du moment qu’ils donnaient des recettes de calcul à tout venant, pour des longueurs, des aires et des volumes, à coups d’intégrales simples, doubles, triples (les dimensions supérieures à trois restant prudemment éludées. . . ), la question d’en donner une définition intrinsèque ne semblait pas se poser, pas plus pour mes professeurs que pour les auteurs des manuels.

D’après l’expérience limitée qui était mienne alors, il pouvait bien sembler que j’étais le seul être au monde doué d’une curiosité pour les questions mathématiques. Telle était en tous cas ma conviction inexprimée, pendant ces années passées dans une solitude intellectuelle complète, et qui ne me pesait pas. À vrai dire, je crois que je n’ai jamais songé, pendant ce temps, à approfondir la question si oui ou non j’étais bien la seule personne au monde susceptible de s’intéresser à ce que je faisais. Mon énergie était suffisamment absorbée à tenir la gageure que je m’étais proposé : développer une théorie qui me satisfasse pleinement.

Il n’y avait aucun doute en moi que je ne pourrai manquer d’y arriver, de trouver le fin mot des choses, pour peu seulement que je me donne la peine de les scruter, en mettant noir sur blanc ce qu’elles me disaient, au fur et à mesure. L’intuition du volume, disons, était irrécusable. Elle ne pouvait qu’être le reflet d’une réalité,
élusive pour le moment, mais parfaitement fiable. C’est cette réalité qu’il s’agissait de saisir, tout simplement — un peu, peut-être, comme cette réalité magique de « la rime » avait été saisie, « comprise » un jour.

En m’y mettant, à l’âge de dix-sept ans et frais émoulu du lycée, je croyais que ce serait l’affaire de quelques semaines. Je suis resté dessus pendant trois ans. J’ai trouvé même moyen, à force, de louper un examen, en fin de deuxième année de Fac — celui de trigonométrie sphérique (dans l’option « astronomie approfondie »,
sic), à cause d’une erreur idiote de calcul numérique. (Je n’ai jamais été bien fort en calcul, il faut dire, une fois sorti du lycée. . . ) C’est pour ça que j’ai dû rester encore une troisième année à Montpellier pour y terminer ma licence, au lieu d’aller à Paris tout de suite - le seul endroit, m’assurait-on, où j’aurais l’occasion de rencontrer les gens au courant de ce qui était considéré comme important, en maths. Mon informateur, Monsieur Soula, m’assurait aussi que les derniers problèmes qui s’étaient encore posés en maths avaient été résolus, il y avait vingt ou trente ans, par un dénommé Lebesgue. Il aurait développé justement (drôle de coïncidence, décidément !) une théorie de la mesure et de l’intégration, laquelle mettait un point final à la mathématique.

Monsieur Soula, mon prof de « calcul diff », était un homme bienveillant et bien disposé à mon égard. Je ne crois pas qu’il m’ait convaincu pour autant. Il devait déjà y avoir en moi la prescience que la mathématique est une chose illimitée en étendue et en profondeur. La mer a-t-elle un « point final » ? Toujours est-il qu’à aucun moment je n’ai été effleuré par la pensée d’aller dénicher le livre de ce Lebesgue dont Monsieur Soula m’avait parlé, et qu’il n’a pas dû non plus jamais tenir entre les mains. Dans mon esprit, il n’y avait rien de commun entre ce que pouvait contenir un livre, et le travail que je faisais, à ma façon, pour satisfaire ma curiosité sur
telles choses qui m’avaient intrigué.

Récoltes et Semailles, §2.1. La magie des choses

Alexandre Grothendieck a entendu parler de ce mathématicien, mais il n’a pas l’idée d’ouvrir son livre. Il n’apprend pas les maths, il les fait, ou les refait. « Les livres, on ne les lit pas, on les écrit », aurait-il lâché quelques années plus tard alors qu’un chercheur américain s’enquérait de sa bibliothèque.

L’homme est là, tout entier avec son génie, son culot et son absence de culture mathématique. En octobre 1948, il ne prend pas la peine d’aller chercher sa licence qui l’attend toujours au secrétariat du département de mathématiques de la fac de Montpellier et monte à Paris avec un précieux sésame, une lettre de recommandation [16] qui lui donne accès à Henri Cartan. Cet esprit influent s’est alors donné pour tâche de reconstruire l’école française de mathématiques.

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Henri Cartan en 1985

Le temps des solutions

Le voilà en 1948, au Quartier latin, face à ce que la méritocratie française produit de mieux : d’excellents élèves venus de toute la France, dirigés vers les meilleures classes préparatoires, celles de Louis-le-Grand ou de Henri-IV, pour ensuite entrer à Normale Sup, rue d’Ulm : une carrière toute tracée avec, pour trois ou quatre d’entre eux, une ultime marche, le Collège de France.

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En 1951
Photo prise par Paulo Ribenboim à Pont-à-Mousson

Henri Cartan conseille à Grothendieck de se rendre à Nancy où la jeune garde des maths modernes s’est repliée, abandonnant momentanément la capitale aux vieilles barbes de la Sorbonne. Là-bas, Laurent Schwartz (médaille Fields 1950) et Jean Dieudonné l’accueillent avec curiosité. Sait-on jamais…

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Jean Dieudonné (g) et Laurent Schwartz (d)

Stature immense, voix de stentor et rectitude absolue, le second commence par lui passer un savon à propos de sa redécouverte de Lebesgue : « Ça sert à quoi de refaire ce qui a été fait ? Ça n’est pas comme ça que l’on travaille… » Le mathématicien, en règle générale, est plutôt brut de décoffrage quand il s’agit de dire des choses désagréables. L’élégance, il la garde pour la démonstration réussie.

Pour le tester, ses chaperons lui confient quatorze questions qu’ils ne parviennent pas à résoudre. Il peut choisir celles qui l’intéressent… Jean Dieudonné raconte la suite : « Le résultat dépassa nos espérances. En moins d’un an, il avait résolu tous nos problèmes… » Cette fois il se montre élogieux : « Il a tout résolu ! », clame-t-il un matin à Laurent Schwartz en arrivant à la fac. Ceux qui assisteront aux séminaires Bourbaki quelque temps plus tard se souviennent de son enthousiasme face aux solutions apportées par ce jeune étudiant.

J’ai eu personnellement le privilège d’assister de près, à cette époque,
à l’éclosion du talent de cet extraordinaire « débutant » qui à 20 ans
était déjà un maître ; et, avec 10 ans de recul, je considère toujours
que l’œuvre de Grothendieck de cette période reste, avec celle de
Banach, celle qui a le plus fortement marqué cette partie des mathématiques. [17]

En l’espace de quelques mois, Alexandre Grothendieck a rédigé l’équivalent de six thèses de doctorat. Pour un doctorant solide, mieux vaut compter trois ou quatre ans pour aller au bout d’une seule. L’effort est si considérable qu’il ne viendrait à personne l’idée de rédiger deux thèses en parallèle. Il a tout simplement ouvert un domaine de recherche, les espaces vectoriels topologiques [18], dont se serviront les spécialistes de la mécanique quantique [19] [20], pour le refermer aussitôt [21].

La machine enchantée

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Séminaire de Géométrie Algébrique
Au cours d’une séance du SGA, probablement SGA3 (1962-1964)

Au début des années 50, l’évidence s’impose. L’un des meilleurs mathématiciens de sa génération vient de nulle part. Quand Léon Motchane, un industriel devenu docteur en mathématiques sur le tard, met en place l’IHÉS sur le modèle de ­l’Institut d’Étude Avancée (Institute for Advanced Study, IAS) – un établissement monté de toutes pièces en 1930 à Princeton pour permettre à Albert Einstein de poursuivre ses recherches aux États-Unis –, il place Alexandre Grothendieck au cœur de ce Thélème des temps modernes.

Petit à petit se met en place une machine qui va lui permettre d’avancer. Jean Dieudonné, homme de droite, se met au service de cet anarchiste invétéré qui méprise tous les pouvoirs et ne demandera sa naturalisation qu’en 1971, une fois certain qu’on ne lui demandera plus de faire son service militaire. Jean-Pierre Serre, la plus jeune médaille Fields de l’histoire, à 28 ans en 1954, et le plus jeune professeur au Collège de France, à 30 ans, devient un catalyseur de l’avancée de leurs travaux [22].

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Jean-Pierre Serre et Alexandre Grothendieck, en 1961

À ce triangle Grothendieck-Dieudonné-Serre, il faut ajouter une douzaine d’élèves. Ils vont transpirer sang et eau pour décrire avec une précision extrême des espaces exotiques où géométrie et arithmétique ne font qu’un, un monde dans lequel un point est autre chose que la notion première envisagée par Euclide [23].

Les mathématiques ont existé avant eux et existeront après eux, mais Michel Demazure, Michel Raynaud ou Luc Illusie se retrouvent embarqués dans une quête monumentale. « Imaginez que nous nous engagions dans un canyon aride, sans bien comprendre où nous allions, et que tout à coup nous débouchions sur une plaine verdoyante », explique Luc Illusie, professeur émérite à Paris-Sud.

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Arrivée au pavillon de musique de l’IHES pour une séance du SGA

Michel Raynaud, aujourd’hui à la retraite, mais présent dès 8 heures chaque matin à son bureau de la fac d’Orsay, ne dit pas autre chose : « On avait l’impression de se retrouver dans une impasse, sans issue possible. Et d’un seul coup, par la magie du concept bien choisi, on se retrouvait de l’autre côté de l’obstacle comme par enchantement. On était ébloui. » Et d’ajouter après un silence : « Et l’éblouissement ne s’est pas effacé. » Un hommage d’autant plus fort qu’il vient d’un étudiant qui négligea les travaux que lui demandait Alexandre Grothendieck pour choisir seul son sujet de thèse.

Forme et structure — ou la voie des choses

Traditionnellement, on distingue trois types de « qualités » ou d’ « aspects » des choses de l’ Univers, qui soient objet de la réflexion mathématique : ce sont le nombre, la grandeur, et la forme. On peut aussi les appeler l’aspect « arithmétique », l’aspect « métrique » (ou « analytique »), et l’aspect « géométrique » des choses. Dans la plupart des situations étudiées dans la mathématique, ces trois aspects sont présents simultanément et en interaction étroite. Cependant, le plus souvent, il y a une prédominance bien marquée de l’un des trois. Il me semble que chez la plupart des mathématiciens, il est assez clair (pour ceux qui les connaissent, ou qui sont au courant de leur œuvre) quel est leur tempérament de base, s’ils sont « arithméticiens », « analystes », ou « géomètres » - et ceci, alors même qu’ils auraient beaucoup de cordes à leur violon, et qu’ils auraient travaillé dans tous les registres et diapasons imaginables.

[...] S’il y a une chose en mathématique qui (depuis toujours sans doute) me fascine plus que toute autre, ce n’est ni « le nombre », ni « la grandeur », mais toujours la forme. Et parmi les mille-et-un visages que choisit la forme pour se révéler à nous, celui qui m’a fasciné plus que tout autre et continue à me fasciner,
c’est la structure cachée dans les choses mathématiques.

La structure d’une chose n’est nullement une chose que nous puissions « inventer ». Nous pouvons seulement la mettre à jour patiemment, humblement en faire connaissance, la « découvrir ». S’il y a inventivité dans ce travail, et s’il nous arrive de faire œuvre de forgeron ou d’infatigable bâtisseur, ce n’est nullement pour
« façonner », ou pour « bâtir », des « structures ». Celles-ci ne nous ont nullement attendues pour être, et pour être exactement ce qu’elles sont ! Mais c’est pour exprimer, le plus fidèlement que nous le pouvons, ces choses que nous sommes en train de découvrir et de sonder, et cette structure réticente à se livrer, que nous essayons à tâtons, et par un langage encore balbutiant peut-être, à cerner. Ainsi sommes-nous amenés à constamment « inventer » le langage apte à exprimer de plus en plus finement la structure intime de la chose mathématique, et à « construire » à l’aide de ce langage, au fur et à mesure et de toutes pièces, les « théories » qui sont censées rendre compte de ce qui a été appréhendé et vu. Il y a là un mouvement de va-et-vient continuel, ininterrompu, entre l’appréhension des choses, et l’expression de ce qui est appréhendé, par un langage qui s’affine et se recrée au fil du travail, sous la constante pression du besoin immédiat.

Récoltes et Semailles, §2.9. Forme et structure — ou la voix des choses

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Grothendieck aux environs de 1965

L’équation politique

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Tract annonçant une conférence de Grothendieck au CERN, en janvier 1972

En mai 1968, la machine se dérègle. Shourik [24], comme l’appellent ses proches, se rend à Orsay pour dialoguer avec les « contestataires ». L’anar se fait conspuer par les « enragés ». Le réprouvé se découvre mandarin. « Après, il n’était plus le même », raconte Valentin Poénaru. Celui qui a fui la Roumanie en 1962 et que Grothendieck a accueilli à bras ouverts revit aujourd’hui la dure confrontation : « Ça a été une gifle terrible, c’était d’une violence inouïe ». Il allait défendre la recherche. Deux ans plus tard, il appelle la communauté scientifique à l’abandonner purement et simplement.

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Grothendieck au début des années 70

Il se fâche avec Léon Motchane qui a accepté des crédits militaires pour financer l’IHES. Pierre Cartier, ami de toujours et mathématicien engagé [25] comme on parlait alors d’écrivain engagé, dit en quelques mots le chambardement intellectuel qui se produit : « Avant il m’engueulait parce que je faisais autre chose que des maths. Après il m’engueulait parce que je faisais encore des maths. » Jean-Pierre Serre l’accueille au Collège de France, où il pose une question folle : « Allons-nous continuer la recherche scientifique ? » Autant demander au Vatican si Dieu existe. Trop gauchiste pour le Collège de France, sa chaire est supprimée [26].

Il passera un an à Orsay et s’en retourne à Montpellier, où il devient simple professeur et invente avec d’autres l’écologie radicale, notamment au sein du groupe Survivre... et Vivre [27]. Le message est simple : la planète n’en a plus pour longtemps, nous devons changer radicalement notre façon de vivre. Dévoiement de la science et de la technologie utilisées contre l’environnement, prolifération du complexe militaro-industriel... il soulève alors des questions qui se retrouvent aujourd’hui au cœur du débat politique.

« Survivre et Vivre » (qui s’appelait d’abord « Survivre » sans plus) est le nom d’un groupe, à vocation d’abord pacifiste, ensuite également écologique, qui a pris naissance en juillet 1970 (en marge d’une « Summer School » à l’Université de Montréal), dans un milieu de scientifiques (et surtout, de mathématiciens). Il a évolué rapidement vers une direction « révolution culturelle », tout en élargissant son audience en dehors des milieux scientifiques. Son principal moyen d’action a été le bulletin (plus ou moins périodique) de même nom, dont les directeurs consécutifs ont été Claude Chevalley, moi-même, Pierre Samuel, Denis Guedj (tous quatre des mathématiciens) — sans compter une édition en anglais, maintenue à bout de
bras par Gordon Edwards (un jeune mathématicien canadien dont j’avais fait connaissance à Montréal et qui a été parmi les quelques initiateurs du groupe et du bulletin). Le premier bulletin, entièrement de ma plume (naïve et pleine de conviction !) et tiré à un millier d’exemplaires, a été distribué au Congrès International de Nice (1970), lequel réunissait (comme tous les quatre ans) plusieurs milliers de mathématiciens. Je m’attendais à des adhésions massives — il y en a eu (si je me rappelle bien) deux ou trois. J’ai surtout senti une grande gêne parmi mes collègues ! En parlant de la collaboration des scientifiques avec les appareils militaires, qui s’étaient infiltrés un peu partout dans la vie scientifique, je mettais surtout les pieds dans des plats bien garnis. . . C’est dans le « grand monde » scientifique que j’ai senti la plus grande gêne — les échos de sympathie me venant de là se sont réduits à ceux de Chevalley et de Samuel. C’est dans ce que j’ai appelé ailleurs « le marais » du monde scientifique, que notre action a trouvé une certaine résonance. Le bulletin a fini par tirer à une quinzaine de mille d’exemplaires - un travail d’intendance dingue d’ailleurs, alors que la distribution se faisait artisanalement. Les dessins juteux de Didier Savard ont sûrement beaucoup contribué au succès relatif de notre canard. Après mon départ et celui de Samuel, ça a fini par tourner au groupuscule gauchiste, au jargon tranchant et aux analyses sans réplique, et le bulletin a fini par mourir de sa belle mort. Ce qui avait été à comprendre et à dire, à un certain moment proche encore de l’effervescence de l’année 1968, avait été compris et dit. Il n’y avait guère intérêt après ça de faire tourner et retourner un disque à perpète...

Récoltes et Semailles, §18.2.12.4. (d) Nichidatsu Fujii Guruji - ou le soleil et ses planètes

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Dessin de Didier Savard paru dans le n°12 de Survivre... et Vivre. Grothendieck s’accroche à l’ordre du jour...

À la veille de la rentrée 1978-1979, il distribue aux étudiants une réflexion
dans laquelle il entend provoquer « une saine nausée devant la perspective de
reprendre encore et toujours le sempiternel ballet mécanique, figurants falots
dans le rite infiniment ressassé de notre propre castration !
 » Voilà pour le fond.
La forme suit. Il propose de tirer les notes au sort entre 10 et 20, ou met 20 à tout le
monde ! Pour beaucoup, l’homme semble perdu pour les maths. Jean Malgoire,
qui l’hébergea plus d’une fois, s’agace de cette vision : « Nous passions des journées à parler de mathématiques. Le soir, tard, j’allais me coucher épuisé. Lui se mettait à faire des maths et le matin il me tendait une quinzaine de pages. »
En août 1991, alors qu’il se trouve à la retraite depuis trois ans, Alexandre
Grothendieck quitte son dernier domicile connu pour son ermitage pyrénéen.
Il laisse à Jean Malgoire 20 000 pages de notes et de lettres rédigées en une quinzaine d’années. Il compte 63 printemps et se montre aussi productif qu’à 40 ans.
Celui qui est devenu le dépositaire de l’œuvre se lance avec Matthias Künzer
et Georges Maltsiniotis dans une exégèse des textes écrits sur de grandes feuilles
d’ordinateur des années 80 ou sur des bouts de carton. Ils en dégagent notamment
un texte inédit sur la notion de « dérivateur » [28].

Un trésor bien gardé

Depuis son île ariégeoise, Alexandre Grothendieck voudrait tout envoyer
au pilon. La communauté des mathématiciens entend passer outre et
garde le secret du lieu où se trouvent les cinq cartons, dont un de couches
Pampers, qui contiennent sa correspondance et ses travaux. Pour Michel Demazure,
il faudra une cinquantaine d’années, peut-être plus, pour prendre la mesure
de ce qui dort quelque part au centre de Montpellier.

Finalement, pour reprendre le constat d’un compagnon de l’IHES, David Ruelle, « Grothendieck n’était rien… » Ni ex- de Normale Sup ni ancien de l’école Polytechnique, juste ancien du Rieucros, il est redevenu une poussière de l’histoire, reclus et oublié quelque part dans les contreforts des Pyrénées, il regarde l’herbe prise dans l’épais goudron. Peut-être a-t-il trouvé l’équation angulaire [29]. Nul ne le sait et lui a peut-être mis le feu à sa découverte.

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Grothendieck vers 1965

Pour en savoir plus

  1. Le premier tome du Cours de géométrie algébrique de Jean Dieudonné (PUF, 1985) offre un panorama historique passionnant, de Descartes à Grothendieck.
  2. Le Grothendieck Circle regroupe des documents collectés par Leila Schneps.
  3. Un article en deux parties (et en anglais) d’Allyn Jackson, aux Notices de l’AMS : Comme appelé du néant — As If Summoned from the Void : the life of Alexander Grothendieck Partie1, Partie2.
  4. Le même journal a publié des réminescences (en anglais) de Luc Illusie et de Valentin Poénaru.
  5. Winfried Scharlau a entamé la rédaction d’une biographie très fouillée : Wer ist Alexander Grothendieck ? Anarchie, Mathematik, Spiritualität — Eine Biographie. Deux tomes (en allemand) sont déjà parus : Teil 1 : Anarchie et Teil 3 : Spiritualität. Une introduction (en anglais) a été publiée par les Notices de l’AMS : Who is Alexander Grothendieck ?.
  6. En 2009, l’IHES a organisé un colloque intitulé Aspects de la géométrie algébrique : la postérité mathématique de Grothendieck.
P.S. :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient très chaleureusement Amaury Thuillier pour sa participation à l’écriture de cet article.
Nous remercions également pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Ulysse, Caocoa,
Romain Bondil,
Jacques Lafontaine,
Claire Wenandy et Claude Animo.

Notes

[1Les citations sur fond rose, les notes de bas de page ainsi que la plupart des photos ont été ajoutées par Amaury Thuillier (maître de conférences, université Lyon 1) à l’occasion de la publication sur Images des mathématiques. Le sous-titre est extrait de Récoltes et Semailles ; il décrit le point de vue de Grothendieck, tant sur son œuvre mathématique que sur sa quête spirituelle.

[2Il aura 84 ans le 28 mars prochain.

[3Il ne viendrait guère à l’idée d’un mathématicien de comparer Grothendieck à Einstein. Il se trouve cependant que l’intéressé a lui-même établi un parallèle dans son texte autobiographique Récoltes et Semailles, dont on pourra lire un extrait en jetant « Un coup d’œil chez les voisins d’en face »

[4Institué en 1980, ce prix est décerné annuellement par l’Académie royale des sciences de Suède. Il récompense par roulement des travaux en mathématiques, astronomie, géologie et biologie. Ce prix vient de récompenser, le 19 janvier 2012, les mathématiciens Jean Bourgain et Terence Tao.

[5À savoir : Gerd Faltings, Vladimir Voevodsky, Heisuke Hironaka, Pierre Deligne, Vladimir Drinfeld, David Mumford, Laurent Lafforgue, Ngô Bao Châu. Il faut ajouter un dixième nom, celui du mathématicien américain Daniel Quillen.

[6Tentons de parcourir l’histoire de la géométrie algébrique à très vive allure... On sait que l’utilisation d’équations polynomiales pour décrire certains objets géométriques remonte à François Viète, René Descartes et Pierre de Fermat.
Au cours du XIXe siècle, avec les travaux de Niels Abel et de Bernhard Riemann, les mathématiciens prennent conscience que leur définition algébrique confère à ces objets des propriétés très particulières ; ce développement culmine au début du XXe siècle, avec l’école italienne de géométrie algébrique ainsi que les travaux de Salomon Lefschetz et William Hodge.
Parallèlement, Oscar Zariski puis André Weil posent les jalons d’une géométrie algébrique « abstraite », où les nombres réels (ou plutôt, complexes) sont remplacés par des éléments d’un corps quelconque. C’est assez naturel si l’on veut cerner ce qu’il y a de réellement spécifique aux équations polynomiales, mais, surtout, cela permet d’envisager des conséquences de nature arithmétiques, en utilisant en particulier des corps finis.
Inspiré par des travaux de Jean-Pierre Serre, Alexandre Grothendieck construit entre 1958 et 1970 un univers inédit, permettant tout à la fois d’exprimer la géométrie consubstantielle aux équations polynomiales et d’en extraire les conséquences arithmétiques.

[7Cette anecdote est rapportée par Allyn Jackson dans la seconde partie de son article Comme appelé du néant — As If Summoned from the Void : The Life of Alexander Grothendieck, Notices of the AMS, 51 n°10, pp.1196-1212 (2004).

[8La rédaction en fut assurée par Jean Dieudonné, à partir de notes préliminaires détaillées de Grothendieck. Alors que le plan initial prévoyait treize volumes, seuls les quatre premiers furent publiés, entre 1960 et 1967. Une partie du cinquième chapitre existe à l’état de pré-notes de Grothendieck, qui furent diffusées ultérieurement. Dans une très large mesure, le contenu des six derniers chapitres annoncés se retrouve dans les sept volumes de séminaires (SGA) dont il est question un peu plus loin.

[9On en saura plus en lisant cet article d’Etienne Ghys.

[10Inachevé... Il est vertigineux de penser que la substance des quelques 8000 pages que comptent les volumes parus des EGA et SGA, sans parler des multiples exposés de Grothendieck au Séminaire Bourbaki (et au Séminaire Cartan), fut dégagée en une poignée d’années, entre 1956 et 1959...

[11Ainsi que Grothendieck l’explique dans les extraits de Récoltes et Semailles reproduits ici, il s’agissait essentiellement de dégager un cadre commun permettant d’étudier simultanément les aspects géométriques (« continus ») et arithmétiques (« discrets ») des équations polynomiales, afin d’explorer leurs intrications. L’article de François Brunault sur le rang des courbes elliptiques permet de se faire une idée de cette géométrie arithmétique.

[12Écrit entre 1983 et 1986, Récoltes et Semailles. Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien est un texte d’un millier de pages que Grothendieck envoya à certains de ses anciens collègues ou amis. Si une publication (chez Christian Bourgois) fut un temps envisagée, le texte reste inédit. Il n’est toutefois pas difficile d’en trouver une version électronique sur la Toile.

[13Esquisse d’un programme, note (2). Grothendieck ajoute : « C’est à ce moment, je crois, que j’ai entrevu pour la première fois (sans bien sûr me le formuler en ces termes) la puissance créatrice d’une « bonne » définition mathématique, d’une formulation qui décrit l’essence. Aujourd’hui encore, il semble que la fascination qu’a exercé sur moi cette puissance-là n’a rien perdu de sa force. »

[14Récoltes et Semailles, §2.1. La magie des choses

[15L’intégrale de Lebesgue (et plus généralement, la théorie de la mesure) constitue surtout une théorie extraordinairement puissante qui, ayant capturé la notion intuitive de volume, irrigue toutes les mathématiques. Les calculs d’aire ou de volume sont au final assez anecdotiques.

[16De Jacques Soula, professeur de mathématiques à l’université de Montpellier évoqué dans la citation précédente (« La magie des choses »). Grothendieck a surtout bénéficié d’une bourse attribuée par l’Entraide universitaire française grâce à André Magnier, futur doyen de l’inspection générale de mathématiques. Fondée en 1930, cette association existe toujours.

[17Extrait du texte de présentation de Grothendieck par Dieudonné à l’occasion de l’attribution de la médaille Fields, en 1966.

[18La notion d’espace vectoriel topologique n’est pas due à Grothendieck, mais sa thèse en constitue la première étude systématique au-delà du cas des espaces de Banach.

[19En fait, la mécanique quantique utilise essentiellement des espaces de Hilbert, pour lesquels la figure tutélaire est John von Neumann. Cependant, il existe bel et bien un lien entre les travaux de Grothendieck en analyse fonctionnelle et la mécanique quantique via la célèbre inégalité de Bell.

[20On sait qu’Einstein défendit l’idée que l’indéterminisme de la mécanique quantique pourrait être supprimé en élaborant une théorie déterministe et locale « à variables cachées ». En 1964, le physicien John Bell démontra qu’une théorie de ce type impose nécessairement une contrainte sur les corrélations observables entre les états d’un système physique à deux degrés de liberté (inégalité de Bell classique), contrainte dont la mécanique quantique permet de s’affranchir. En 1982, Alain Aspect parvint à réaliser une violation expérimentale de l’inégalité de Bell, invalidant ainsi l’hypothèse d’Einstein. À peu près au même moment, le mathématicien Boris Tsirelson découvrit que la mécanique quantique imposait cependant des contraintes analogues (inégalité de Bell quantique), et que l’écart entre les bornes quantique et classique était contrôlé par un théorème de Grothendieck sur les espaces de Banach datant... de 1956 ! Ce même théorème joue également un rôle important en informatique théorique, dans l’étude des problème d’optimisation algorithmique ; ceux-ci ont récemment fait l’objet ici-même d’un article de Pierre Pansu.

[21Grothendieck soutint sa thèse en 1953, et ses travaux d’analyse fonctionnelle sont réalisés pour l’essentiel entre 1950 et 1954.

[22On aura une (petite) idée de l’intensité des échanges entre Grothedieck et Serre en parcourant leur correspondance.

[23Pour un panorama des mutations du concept de point en mathématiques : Pierre Cartier, La folle journée, de Grothendieck à Connes et Kontsevich. Évolution des notions d’espace et de symétrie.

[24Diminutif du prénom Alexandre en russe.

[25Nous renvoyons au témoignage de Pierre Cartier publié sur ce site.

[26Précision apportée par Jean-Pierre Serre : « La « chaire de Grothendieck » au Collège de France n’a nullement été supprimée. Le Collège possède une ou deux chaires consacrées à des « savants étrangers » invités pour une année. Grothendieck l’a eu deux fois de suite, ce qui est rare. L’année suivante elle a été attribuée à quelqu’un d’autre - dans une discipline différente. Voilà tout. »

[27Initialement baptisé Survivre, ce groupe a été fondé par Grothendieck en juillet 1970, à Montréal. Il le quittera en 1973, en allant s’installer dans le sud de la France. À ce sujet, on lira avec intérêt le mémoire que lui a consacré Céline Plessis (EHESS).

[28Ce texte, en cours d’édition, est consacré aux fondements catégoriques de la théorie de l’homotopie. Deux textes de Grothendieck écrits au début des années 1980 et non publiés ont circulé de manière informelle et exercé une influence profonde : Esquisse d’un programme et À la poursuite des champs.

[29Précisons qu’il ne s’agit pas d’une « équation » au sens strict du terme ! On peut comprendre « théorie fondamentale » et penser aux Motifs, ou songer à l’expression « pierre angulaire » et se souvenir de la métaphore du mathématicien-bâtisseur développée par Grothendieck dans Récoltes et Semailles (voir la citation : Les héritiers et le bâtisseur...).

Crédits images

Image à la une — Collection de Winfried Scharlau
En 1951 — Paulo Ribenboim (correspondance de Grothendieck)
Séminaire de Géométrie Algébrique — IHES
Grothendieck au début des années 70 — Grothendieck Circle
En 1988, l’une de ses dernières photos connues — Collection de Winfried Scharlau
Grothendieck vers l’âge de cinq ans — Photo extraite de l’article d’Allyn Jackson
Alexandre Grothendieck au collège Cévenol (1942-44) — Site de François Nicolas (http://www.entretemps.asso.fr/Grothendieck/)
Tract annonçant une conférence de Grothendieck au CERN, en janvier 1972 — Grothendieck Circle
Grothendieck vers 1965 — Photo extraite de l’article d’Allyn Jackson
Grothendieck aux environs de 1965 — Photo extraite de l’article d’Allyn Jackson
Arrivée au pavillon de musique de l’IHES pour une séance du SGA — IHES
Henri Cartan en 1985 — Gerd Fischer, Oberwolfach Photo Collection
Dessin de Didier Savard paru dans le n°12 de Survivre... et Vivre. Grothendieck s’accroche à l’ordre du jour... — Didier Savard
Jean-Pierre Serre et Alexandre Grothendieck, en 1961 — Photo extraite de l’article d’Allyn Jackson (origine : Friedrich Hirzebruch)
Sascha Shapiro et Hanka Grothendieck — Photos extraites de l’article d’Allyn Jackson
Grothendieck en 1988 — Collection de Winfried Scharlau
La page de titre du premier volume des Éléments de Géométrie Algébrique — Publications mathématiques de l’IHES
Jean Dieudonné (g) et Laurent Schwartz (d) — IHES et Lotfi Zadeh
Camp de Rieucros — Association pour le souvenir de Rieucros

Affiliation de l'auteur

Commentaires sur l'article

Pour citer cet article : Philippe Douroux, « Alexandre Grothendieck »Images des Mathématiques, CNRS, 2012.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Alexandre-Grothendieck.html

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