Algébriser

Piste rouge 8 novembre 2013  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (4)

« Algébriser » une question revient à la reformuler de manière à pouvoir la traiter par des calculs ... algébriques. Mais ceux-ci ne portent pas forcément sur des nombres réels. Ils peuvent opérer avec des « nombres » en un sens généralisé. L’un des enjeux de l’algébrisation est de trouver, face à un problème, quels types de « nombres » sont adaptés pour le résoudre par des calculs. Nous expliquerons cela sur l’exemple d’un jeu très simple.

Le verbe présent dans le titre de cet article est absent de la plupart des dictionnaires du français que j’ai consultés. Et lorsqu’il s’y trouve, par exemple dans le Trésor de la langue française, il est défini soit comme action de faire de l’algèbre, soit comme attachement aux aspects abstraits et généraux d’une situation. Pourtant les mathématiciens l’utilisent dans un autre sens de manière tout à fait courante, et cela depuis bien longtemps.

Mon but est d’expliquer cette autre acception du terme, en l’illustrant par un exemple ludique. Voici tout d’abord la définition que je propose pour cette acception :

Définition : Algébriser une question consiste à la reformuler en termes algébriques, c’est-à-dire, qui peuvent se prêter à un calcul.

Un exemple fondamental d’algébrisation suivant cette interprétation du terme est la transformation systématique des questions de géométrie plane en questions d’algèbre, à la manière initiée par Descartes et Fermat, via l’étude des équations définissant les courbes en jeu. On reformule ainsi la question géométrique initiale en une autre, ouverte à des calculs avec des nombres réels.

Je présenterai ici une autre situation d’algébrisation, qui a l’avantage de montrer que la traduction en un problème algébrique ne mène pas forcément à des calculs portant sur des nombres réels. Dans cet exemple, il s’agira de calculs effectués à l’intérieur d’un domaine fini de « nombres ».

En général, le domaine de « nombres » dans lequel se feront les calculs après l’opération d’algébrisation dépend de la question envisagée. Il s’agit simplement d’un ensemble d’objets avec lesquels on peut calculer, ce que l’on appelle en mathématiques une « structure algébrique » [1]. C’est l’une des raisons pour lesquelles l’étude des structures algébriques est importante en sciences : afin de préparer l’esprit à ne pas décider à l’avance dans quel domaine de « nombres » traduire la situation donnée en une question calculatoire, mais de reconnaître celui qui lui est le plus adapté [2].

Le jeu de la roue aux couleurs

Venons-en à l’exemple ludique annoncé, le « jeu de la roue aux couleurs ».

On doit se munir de deux disques inégaux, fabriqués par exemple en carton. On les fixe ensuite à l’horizontale sur un support à l’aide d’une épingle ou d’une punaise qui passe par leur centre, le plus petit disque étant placé au-dessus du grand. On fait en sorte que ce dernier disque soit fixe, mais que le petit puisse tourner facilement autour de l’axe. On place alors des pions de couleurs différentes sur le grand disque, le long de son bord, de telle manière que les distances entre pions successifs soient toutes égales entre elles, comme pour les nombres sur le cadran d’une horloge [3].

On dispose d’un deuxième jeu de pions ayant les mêmes couleurs et en même nombre que les précédents, qu’il s’agit de placer sur le petit disque face aux premiers. La contrainte imposée est de n’avoir qu’un seul pion placé face à un autre ayant la même couleur que lui, et ceci indépendamment de la manière de tourner le petit disque pour que les pions se retrouvent face à face.

Un tel placement est-il possible ?

La réponse est :

  • oui lorsque le nombre de pions est impair (un exemple de tel arrangement est illustré dans le logo de l’article) ;
  • non lorsqu’il est pair.

Pouvez-vous le démontrer ?

Une reformulation du jeu

François Sauvageot a reformulé de la manière suivante ce jeu sous la forme d’une
loterie.

On divise une grande roue et une petite roue en secteurs angulaires de même taille et on leur attribue des couleurs, une couleur différente dans chaque secteur, mais en ne coloriant pas les deux cercles de la même façon. On centre les deux roues sur un axe de sorte que la petite puisse tourner, mais pas la grande. La petite est située au-dessus de la grande. On rajoute également des ergots de façon à ce que, quand on fait tourner la petite roue, elle ne finisse par s’arrêter que dans une position où ses secteurs de couleurs se retrouvent en face des secteurs de la grande. Les joueurs choisissent une couleur et ils gagnent si les deux secteurs de leur couleur, sur la petite et sur la grande roue, sont au même endroit.

Puisqu’il s’agit d’une loterie, on aimerait qu’à chaque fois que l’on fait tourner la roue, il y ait exactement un gagnant.

La question est : en fonction du nombre de couleurs (i.e. de joueurs), peut-on réaliser deux telles roues et si oui, comment ?

La solution que j’ai trouvée procède par algébrisation au sens défini plus haut, je l’explique dans la section suivante afin d’illustrer cette définition.

Cette solution nécessite le bagage conceptuel des calculs faits avec les nombres entiers « modulo $n$ ». Par contre le jeu lui-même a l’avantage d’être très facilement compréhensible, même par de très jeunes enfants, qui peuvent y prendre plaisir [4]. Il existe en fait une thèse en didactique des mathématiques qui explore la possibilité d’initier les enfants à des situations de recherche pendant leurs études primaires, et ce grâce à ce jeu. Écrite par Karine Godot, on peut la consulter
ici [5].

Le cas d’un nombre pair de pions

Je vais expliquer d’abord pourquoi le jeu n’a pas de solutions si le nombre de pions du grand disque est pair.

Notons par $n$ leur nombre. On peut choisir arbitrairement l’un d’entre eux comme pion de départ, noté $0$, puis se mettre à les numéroter dans l’ordre, après avoir choisi un sens de rotation « positif ». Les pions du grand disque se retrouvent alors numérotés de $0$ à $n-1$.

Ces numéros sont précisément les restes de la division par $n$ des nombres entiers usuels. Ils représentent donc en quelque sorte ce qui reste d’un entier lorsqu’on ne s’intéresse qu’à ses propriétés face à la division par $n$. On peut en particulier étudier les opérations usuelles d’addition, soustraction, multiplication de ce point de vue, en ne gardant à chaque fois que le reste de l’opération. On obtient des opérations analogues portant sur ces restes.

Quelques exemples

Par exemple, si l’on travaille avec $n=5$, on a $\: 3 + 4 = 2$, mais aussi $\: 3 \times 4 = 2$, puis $\: 3 - 4 = 4$, car au sens usuel les résultats de ces opérations sont $\: 7, 12, -1$ dont les restes de la division par $\: 5$ sont $\: 2$, encore $\: 2$ et enfin $\: 4$.

Un exemple plus courant est fourni par la numérotation de $0$ à $23$ des heures d’une journée à partir de minuit. On fait alors des calculs modulo $24$. Par exemple, s’il est maintenant 19 heures, quelle heure sera-t-il dans 14 heures ? Eh bien, il sera 9 heures, car $19 + 14 = 9$ modulo $24$.

Le calcul fait avec les heures figurant sur une horloge, de $1$ à $12$, est tout à fait analogue. Dans ce cas on travaille modulo $12$, mais au lieu d’utiliser le reste $0$, on le remplace partout où il intervient dans les calculs par le nombre $12$.

Ce nouveau domaine de nombres avec lesquels on peut aussi faire des opérations arithmétiques a été introduit par Gauss dans son célèbre traité « Disquisitiones Arithmeticae », paru en 1801. Il les a appelés « nombres modulo $n$ » [6].

Les pions du grand disque se retrouvent donc numérotés par eux. Et les calculs que nous serons amenés à faire porteront sur ce type de « nombres ». Nous pouvons considérer que les pions sont en fait coloriés par ces « nombres ». Nous remplacerons aussi les couleurs des pions disposés sur le petit disque par le « nombre » correspondant.

Supposons par l’absurde que l’on peut disposer les pions suivant les contraintes du jeu. Pour chaque nombre $x$ modulo $n$, notons par $x'$ le numéro du pion extérieur qui se trouve face au pion intérieur numéro $x$. Un peu de réflexion permet de se convaincre qu’il faut tourner le petit disque de $x - x'$ crans dans le sens positif pour amener le pion intérieur numéro $x$ face au pion extérieur de même numéro.

Par exemple, dans la figure suivante, on a $n =6$ et $0' = 1, 1' = 5$, $2' = 2, 3' = 4$, $4' =3, 5' = 0$. En particulier, il faut tourner le disque intérieur de $3 - 3' = 3 - 4 =5$ (modulo $6$) crans dans le sens positif pour que les pions numérotés par $3$ se retrouvent face à face.

L’hypothèse qu’il n’y a pour chaque rotation qu’une seule paire de pions en vis-à-vis portant le même numéro nous dit que les différences $x - x'$ sont toutes distinctes entre elles, en tant que nombres modulo $n$. En effet, si on avait une égalité $x - x' = y - y' = d$ pour $x \neq y$, alors en tournant le petit disque dans le sens positif de $d$ crans, on mettrait en vis-à-vis à la fois les pions numéro $x$ et ceux numéro $y$.

Comme en tout il y a $n$ telles différences, autant que de nombres modulo $n$, cela signifie que leur somme \[S = (0 -0') + (1 -1') + (2 - 2') + \cdots + ( (n-1) - (n-1)' )\] est égale, modulo $n$, à la somme $0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1).$
Mais si on travaille avec des nombres entiers ordinaires, cette dernière somme vaut $\frac{(n-1)n}{2}$ [7]. Donc $S$ est égale à $\frac{(n-1)n}{2}$ modulo $n$.

La somme $S$ peut être calculée d’une deuxième manière :
\[S = (0 + 1 + \cdots + (n-1) ) - (0' + 1' + \cdots + (n-1)' ).\]
Comme les nombres $x'$ parcourent tous les entiers modulo $n$ lorsque $x$ parcourt ces mêmes entiers, on déduit que dans cette somme chaque entier modulo $n$ se retrouve une fois positivement et une fois négativement. La somme est donc nulle modulo $n$.

En comparant les deux manières de calculer la somme, on déduit que
le nombre entier
$\frac{(n-1)n}{2}$ est nul modulo $n$, c’est-à-dire qu’il est divisible par $n$.
Mais rappelons-nous que l’on a supposé que $n$ est pair : $n = 2m$. Alors
$\frac{(n-1)n}{2} = (2m - 1)m$, qui n’est pas divisible par $2m$. La preuve par l’absurde est terminée.

Comment ai-je pensé à cette preuve ? Eh bien, parce que j’avais en tête la représentation géométrique des entiers modulo $n$ par les sommets d’un polygone régulier à $n$ sommets, et que je savais que les additions et les soustractions s’interprétaient à l’aide des rotations du polygone. En voyant que la question posée par le jeu porte sur ce qui se passe lorsque l’on fait tourner un polygone régulier, j’ai reconnu que cela se traduisait facilement en une question algébrique sur ces entiers modulo $n$.

Plus généralement, l’algèbre n’est vraiment un outil efficace que si on apprend à reconnaître ses divers domaines de « nombres » (les divers types de « structures algébriques ») sous divers accoutrements, en particulier géométriques.

Le cas d’un nombre impair de pions

Pour finir, je voudrais expliquer comment l’algébrisation précédente permet de trouver très facilement une manière de disposer les pions internes selon la contrainte demandée, lorsque leur nombre est impair.

Nous avons vu que cela revient à trouver une manière d’associer à chaque nombre $x$ modulo $n$ un autre nombre $x'$ modulo $n$, tel que les différences $x - x'$ soient deux à deux distinctes. Comme on se trouve maintenant dans un état d’esprit « algébrique », on cherche des expressions $x'$ qui s’expriment par une formule à partir de $x$. Prendre $x' = x + c$ pour une certaine constante $c$ ne marche pas, car dans ce cas toutes les différences $x - x'$ seraient égales. Cherchons alors à multiplier $x$ par une constante. Ça marche : le plus simple est de poser $x' = 2x$, bien sûr modulo $n$. Donc $x - x' = -x$, ce qui montre que ces différences sont bien deux à deux distinctes !

Attendez, cet argument n’est-il pas aussi valable lorsque $n$ est pair ? Bien sûr que si ... sauf que les nombres de la forme $2x$ modulo $n$ ne sont deux à deux distincts lorsque $x$ parcourt les entiers modulo $n$ que lorsque $n$ est impair [8]. C’est donc uniquement dans ce cas que la formule « algébrique » $2x$ donne une numérotation des pions intérieurs qui respecte la contrainte d’avoir des numéros différents entre eux.

Mais si on changeait cette contrainte, en se permettant d’utiliser plusieurs fois la même couleur ? Et si on fixait dès le départ les couleurs disponibles pour les pions intérieurs ? Ou bien, en gardant les mêmes règles, comment calculer le nombre de solutions lorsque $n$ est impair ?

Beaucoup d’autres questions peuvent se poser autour de ce jeu. Il y a là matière à expérimentation même pour des enfants de l’école primaire, comme vous le découvrirez si vous consultez la thèse de Karine Godot.

Post-scriptum :

Merci beaucoup à François Sauvageot, Massy Soedirman et Bernard Valentin pour leurs remarques !

Article édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1Il y en a de toutes sortes, avec de drôles de noms : magmas, monoïdes, treillis, groupes, anneaux, corps, algèbres, opérades, etc., mais rassurez-vous, il n’est pas du tout nécessaire d’en avoir entendu parler pour lire la suite.

[2Dans mon exemple, l’objet algébrique adapté est un anneau commutatif. Mais il faut être prêt à utiliser aussi des objets non-commutatifs, comme le montre cette algébrisation faite par Alain Connes d’un célèbre théorème de géométrie élémentaire dû à Morley.

[3Les pions se retrouvent donc aux sommets d’un polygone régulier. Bien sûr, il n’est pas question de faire cela de manière exacte, mais juste approximativement, à vue d’œil.

[4J’ai découvert ce jeu dans le bureau de Genţiana Dănilă, de l’Université Paris 7 Denis Diderot, qui l’utilise dans des séances de divulgation mathématique pour les enfants.

[5On y apprend qu’une version de cette question se trouve à la page 106 du livre Math’Circus de Martin Gardner, dont une traduction en français parut en 1986 chez Belin. La solution qui y est proposée est la même que celle que j’ai trouvée, mais expliquée en termes plus élémentaires, sans recourir aux entiers modulo $n$. Une autre variante de la même solution est expliquée dans la thèse.

[6Mon affirmation est légèrement anachronique : en fait Gauss a introduit la notion de « congruence modulo $n$ », ce n’est que plus tard que l’on y a vu la description d’un domaine fini de « nombres modulo $n$ ».

[7Une légende très répandue affirme que Gauss, encore enfant, trouva une manière très simple pour prouver cette identité : il suffit de considérer deux fois cette somme, dans l’ordre et dans l’ordre inverse, puis d’additionner chaque terme de l’une au terme de l’autre de même rang. On obtient $n$ fois la somme partielle $n-1$. Mais la somme totale vaut deux fois la somme que l’on désirait calculer, ce qui entraîne l’identité voulue.

[8Démontrez-le !

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Algébriser» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Commentaire sur l'article

  • Algébriser

    le 14 novembre 2013 à 23:56, par Omar Khettab

    Bonjour et merci pour cet article passionnant.

    Une chose me chiffonne toutefois, il s’agit du passage suivant :


    « Un peu de réflexion permet de se convaincre qu’il faut tourner le petit disque de x−x’ crans dans le sens positif pour amener le pion intérieur numéro x face au pion extérieur de même numéro. »

    J’ai tenté en intervertissant les nombres 1 et 4 sur le disque interne et en effet cela semble fonctionner quelques soit la configuration, toutefois je ne comprend pas le mécanisme qui régit cela, si une âme charitable consent à m’éclairer pour mon plus grand bonheur j’en serais ravi.

    Répondre à ce message
    • Nombre de crans

      le 15 novembre 2013 à 07:05, par Patrick Popescu-Pampu

      Bonjour,

      Un petit dessin devrait éclairer ce fait. Dessinez deux cercles concentriques, puis marquez $x$ quelque part sur le bord du petit et $x'$ le long du même rayon, sur le bord du grand. Ces points représentent bien sûr les pions des deux disques ayant ces deux numéros, et qui par la définition de $x'$ sont en vis-à-vis. Marquez aussi l’endroit repéré par $x$ sur le bord du grand, et tracez les deux rayons qui correspondent aux deux points marqués du grand cercle. La rotation qui emporte le point $x$ du petit cercle sur le rayon marqué $x$ du grand cercle emporte donc le point marqué $x'$ du grand cercle sur le point $x$ de ce dernier. Mais cette dernière rotation est bien de $x-x'$ crans dans le sens positif, puisque ce sens positif est par convention celui de la numérotation le long du bord du grand cercle.

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  • Algébriser

    le 23 novembre 2013 à 17:02, par Dasson

    Merci pour ce texte.
    J’ai repris l’idée dans ce programme FLASH en test :
    http://rdassonval.free.fr/flash/jeucouleurs.swf
    Plusieurs pages interactives, une approche des entiers modulo 5 et 7 qui devraient être abordables dès le collège (?)
    Roland Dassonval

    Répondre à ce message
    • Roue qui tourne

      le 26 novembre 2013 à 08:17, par Patrick Popescu-Pampu

      Merci beaucoup pour votre travail, qui permet de rendre le jeu plus palpable !

      Répondre à ce message

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