Algunos problemas abiertos de geometría elemental

Le 6 avril 2009  - Ecrit par  Jean-Marc Schlenker
Le 5 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Quelques problèmes ouverts de géométrie élémentaire Voir les commentaires
Lire l'article en  

La geometría discreta es una rama de las matemáticas que se interesa en los objetos geométricos que son ’’discretos’’, es decir, que pueden ser descritos por un número finito de parámetros. Es relativamente poco practicada en los departamentos de matemáticas del mundo, pero sí mucho en los departamentos de informática (o de computer science), donde se interesan tanto en ella misma como en su rol en las aplicaciones.

Mientras la mayoría de los temas de geometría estudiados por los matemáticos son relativamente abstractos y de difícil acceso, le geometría discreta encierra una multitud de preguntas notablemente fáciles de plantear, pero cuyas respuestas no se conocen : se habla de problemas ’’abiertos’’. Vamos a presentar tres, elegidos de entre muchos otros.

El despliegue de los poliedros

Supongamos que usted quiere construir un poliedro, por ejemplo, un cubo o un icosaedro [1]. ¿Cómo hacerlo ? Lo más simple es construir un ’’molde’’. Por ejemplo, para un cubo se dibuja 6 cuadrados sobre una hoja de papel que formen una especie de cruz. Luego se los recorta, se pliega a lo largo de las aristas y se los pega para formar un cubo. Vea por ejemplo aquí. Esta construcción en realidad es antigua. Se remonta por lo menos a Durero, quien dejó numerosas ilustraciones, como esta.

Esto lleva a una pregunta muy natural : ¿puede todo poliedro ser obtenido de esta manera ? En términos un poco más precisos : ¿es siempre posible recortar un poliedro (convexo) a lo largo de ciertas aristas para obtener un campo conexo desplegable sobre el plano (sin auto-intersección) ? Bueno, aún no se sabe.

La conjetura de Kneser-Poulsen

Consideremos ahora un conjunto de bolas $B_1, B_2,\ldots, B_n$ en el espacio.
Desplacemos estas bolas de manera que la distancia entre los centros de dos cualesquiera de ellas disminuya. La conjetura de Kneser-Poulsen asegura que el volumen de la intersección de todas las bolas es más grande en esta nueva configuración. Y también que el volumen de la reunión de todas esas bolas es más pequeño.

El análogo para el plano de esta conjetura es verdadero ; vea aquí. En dimensión mayor, bueno, ¡ no se sabe !

La subdivisión del cubo

¿Es posible recortar un cubo en tetraedros cuyos ángulos sean todos agudos, es decir, estrictamente inferiores a 90 grados ? En dimensión 2, la respuesta es positiva : se puede recortar un cuadrado en triángulos acutángulos. Es un ejercicio que se deja al lector (cuidado : ¡ no es tan fácil !). En dimensión tres, bueno, ¡ no se sabe !

¿Es interesante ?

Estos tres problemas son fáciles de enunciar, pero están muy alejados de las preocupaciones de la gran mayoría de los matemáticos. Generalmente. ellos estudian nociones menos fáciles de captar, pero sobre las cuales se tiene buenas razones para pensar que juegan un rol más fundamental (para las matemáticas, para las otras ciencias e incluso para las aplicaciones).
Uno puede preguntarse si son interesantes, es decir, si darles respuesta representaría un progreso importante para el conocimiento.

Esto no es claro. Es del todo posible que esos problemas se vean poco interesantes, porque -por ejemplo- las conjeturas correspondientes pueden ser falsas, pero los contraejemplos son simplemente demasiado complicados como para haber sido encontrados hasta aquí. En ese caso, encontrar la respuesta sería por cierto útil, pero no cambiaría fundamentalmente nuestra comprensión de las matemáticas. Los contraejemplos encontrados quedarían como curiosidades. Pero es posible también que nuestra incapacidad para resolver esas preguntas se deba a nuestra incomprensión de herramientas conceptuales fundamentales. En este caso, esos problemas serían como la punta visible de icebergs matemáticos aún por descubrir.

Notes

[1Se puede también consultar los artículos Une chambre hyperbolique y Triangulations : de la terre au nœud de trèfle. en este mismo sitio.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Algunos problemas abiertos de geometría elemental» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?