Ananas et chocolat

Piste bleue 17 septembre 2013  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires (1)

Vous avez envie de sucré, vous aimez le chocolat, et vous avez un ananas dans votre cuisine. Tout va bien, donc. Une mousse au chocolat, de petits dés d’ananas rôtis et flambés au rhum, et un soupçon de gingembre confit (dans le jus d’ananas, par exemple). Ce n’est pas très léger, mais là n’est pas la question. Les proportions, les temps de cuisson, le choix du chocolat ou l’hygrométrie optimale de votre cuisine pour atteindre la perfection recherchée, vous trouverez tout cela dans les livres de cuisine. Mais avez-vous pensé aux problèmes mathématiques qui se dressent devant vous ?

De la tablette aux carrés

« Faire fondre les carrés de chocolat au bain-marie ». Encore faut-il séparer la tablette de chocolat en carrés [1]. Cela paraît simple, mais êtes-vous sûr de bien vous y prendre ?

L’opération élémentaire est de prendre la tablette entre ses mains et de la couper en deux, puis de recommencer avec chacun des deux morceaux obtenus, etc. Avec une tablette de $5$ par $9$, cela laisse de multiples possibilités : lors de la première étape, on peut couper la tablette en un morceau de $5$ par $4$ et un de $5$ par $5$, ou choisir de la couper en un morceau de $5$ par $3$ et un autre de $5$ par $6$, ou encore casser la tablette dans l’autre dimension afin d’avoir une bande de $2$ par $9$ et une de $3$ par $9$ ... Lors de la seconde étape on dispose à nouveau de multiples choix. Quelle est la meilleure stratégie, celle qui conduit au minimum d’opérations élémentaires ?

Les livres de recettes classiques ne répondent pas à cette question. Et pour cause : toutes les stratégies sont équivalentes. Pour s’en convaincre, il s’agit de constater que chaque étape élémentaire produit exactement un morceau de plus : on se saisit d’un morceau existant, sans toucher aux autres, et on le casse en deux ; à la fin de l’étape, le nombre de morceaux augmente donc d’une unité. Ainsi, pour séparer les carrés de la plaque de chocolat les uns des autres il faut répéter l’opération élémentaire autant de fois qu’il y a de carrés de chocolat, moins une fois puisque la plaque de chocolat elle-même compte pour un morceau initial. Puisqu’il y a $45$ carrés sur la plaque que nous prenons en exemple ($5\times 9= 45$), il faudra $44$ opérations élémentaires. Si l’on avait une plaque de $4$ par $7$, il faudrait $27$ opérations.

Éplucher l’ananas

Le chocolat fond, votre robot ménager bat les œufs en neige, et pendant ce temps-là vous suivez votre recette. « Épluchez l’ananas, découpez-le en dés, et faites le rôtir dans un peu de miel avec du poivre de Jamaïque ». Tout cela met l’eau à la bouche et vous vous lancez dans l’épluchage du fruit. On coupe le pied, on épluche grossièrement l’ananas, et il reste les « yeux », ces petits trous où subsiste de l’écorce, avec des poils durs. Il s’agit de les enlever et vous suivez la stratégie de votre grand-mère qui consiste à retirer de petites bandes de pulpe en découpant des rigoles le long de l’ananas qui lient les yeux les uns aux autres en formant de jolies courbes hélicoïdales (regardez cela si vous ne connaissez pas).

Mais après avoir passé du temps à réfléchir à la meilleure façon de casser une tablette de chocolat, vous êtes un peu à la bourre ; et puis vous aimeriez bien jeter le moins de pulpe possible. La question s’impose donc naturellement de déterminer les lignes optimales, les meilleures « hélices » ou « spirales » le long desquelles passer votre couteau [2]. Et il y a effectivement le choix : comme on peut le voir sur la photographie suivante, on dispose d’au moins deux familles de « spirales » qui couvrent l’ananas [3]. Laquelle choisir.

La suite de Fibonacci et le nombre d’or

Les deux familles principales de spirales sur un ananas comportent respectivement $13$ et $8$ spirales. Ces nombres s’observent sur la plupart des ananas murs (du moins sur celui que j’ai photographié). Des nombres analogues apparaissent pour les spirales de la fleur de tournesol, celles des pommes de pin, ou celle du chou Romanesco. Ils font partie de la suite de Fibonacci, qui commence comme suit :
\[ 0,\; 1,\; 1,\; 2,\; 3,\; 5,\; 8,\; 13,\; 21,\; 34,\; 55,\; 89,\; 144,\; 233, ... \]
Chaque terme de cette suite s’obtient en additionnant successivement les deux précédents. Ainsi, $34$ est la somme de $21$ et $13$. La suite des quotients successifs de cette séquence converge vers le nombre d’or [4]
\[ \Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}. \]
Ceci signifie que, à mesure qu’on progresse le long de la suite de Fibonacci, les quotients successifs $1/1$, $2/1$, $3/2$, $5/3$, $8/5$, $13/8$, $21/13$, $34/21$, $55/34$, s’approchent irrémédiablement de $\Phi$. Par exemple,
\[ \frac{55}{34}= 1,61764... \]
tandis que
\[ \Phi=1,618033... \]
L’erreur effectuée lorsqu’on approxime $\Phi$ par $55/34$ est donc inférieure à $0,001$ ; pour $233/144$, l’erreur est inférieure à $0,0001$, etc. Le nombre d’or n’est pas un nombre rationnel — il ne peut être écrit comme le quotient de deux nombres entiers — ; il peut cependant être approché par des nombres rationnels, et c’est ce que font les quotients de deux termes successifs de la suite de Fibonacci.

En fait, tout nombre réel est la limite d’une suite de nombres rationnels. Par exemple, le nombre $\pi$ (la moitié du périmètre d’un cercle de rayon $1$) admet un développement décimal infini qui commence par
\[ \pi=3,141592653589... \]
Tronquons le développement décimal après le cinquième chiffre qui suit la virgule.
Nous obtenons $3,14159$ ; c’est un nombre rationnel, puisque c’est le quotient de $314159$ par $100000$. La différence entre $\pi$ et le nombre rationnel ainsi obtenu est inférieure à $0,00001$ car tous les chiffres de son développement décimal sont nuls avant la sixième place. En tronquant le développement décimal plus loin, on obtient une meilleure approximation de $\pi$ par un nombre rationnel. Et la même stratégie s’applique à tout nombre réel.

Le nombre d’or possède une propriété remarquable en terme d’approximation par des nombres rationnels : $\Phi$ est “le” nombre réel le plus difficile à approcher par des nombres rationnels [5].

Phyllotaxie

La présence des nombres $8$ et $13$ dans le décompte des spirales de l’ananas n’est pas anodine. On observe les mêmes quantités pour (presque) tous les ananas.
Et ce n’est pas la seule apparition des nombres de Fibonacci dans la nature : la marguerite jaune a $21$ pétales, le tournesol en possède $55$, ou $89$ ou $144$. Des spirales en « proportions de Fibonacci » apparaissent au cœur de la fleur de tournesol ou sur le pourtour d’une pomme de pin. La phyllotaxie est l’étude de ce type d’arrangements réguliers, universels, qui apparaissent dans la nature ; elle suscite un grand nombre de publications scientifiques liées à de jolies mathématiques.

Pour expliquer la présence de ces nombres, on peut suivre l’idée originale de Wilhelm Hofmeister : lorsqu’une plante pousse apparaissent successivement ses composants (ce peut être les feuilles le long d’une tige, ou les graines de la fleur de tournesol, ou les cellules qui pavent la peau de l’ananas) ; chacun apparaît sous la forme d’un « primordium », et si la plante croît normalement, ceux-ci apparaissent à intervalles de temps réguliers ; une fois apparu, chaque primordium migre en s’éloignant du centre de formation (par exemple, il peut s’éloigner du centre de la fleur ; pour une tige, c’est elle qui croît et le sommet s’éloigne donc des premières feuilles créées) ; lorsqu’un nouveau primordium apparait, il se positionne de sorte à maximiser sa distance aux primordia précédemment créés (afin d’avoir plus de place pour se développer).

Le modèle d’Hofmeister est plus descriptif qu’explicatif mais il est compatible avec l’apparition du nombre d’or. Considérons pour cela un cercle censé représenter notre ananas (vaguement cylindrique) ou une tige, vus de dessus. Au cours de la croissance apparaissent des primordia successifs à intervalles de temps réguliers. Ceci fournit une séquence de points sur le cercle, le point numéro $0$ correspondant au premier primoridum, le point numéro $1$ au second, etc.

Si ces points sont répartis régulièrement, ils correspondent à une suite d’angles de la forme $0$, $A$, $2A$, $3A$, ..., obtenus par rotations successives du même angle fondamental $A$. Désignons les angles en degrés, $360^o$ formant un tour complet et, pour s’entrainer, considérons le cas d’un angle $A$ de $70$ degrés.
Alors $2A$ vaut $140^o$, $3A$ vaut $210^o$, $4A$ vaut $280^o$, $5A$ vaut $350^o$ et puis $6A$ dépasse les $360^o$ de $60^o$ — il correspond donc à un angle de $60^o$.

Afin de maximiser la distance entre ces points, il faut maximiser la distance entre les points d’angles $kA$ et $lA$ pour $k$ et $l$ entiers. Soyons plus précis. L’angle $A$ peut être écrit sous la forme $A=a\times 360^o$, où $a$ est maintenant un nombre réel entre $0$ et $1$ : $a$ est la proportion d’un tour complet correspondant à l’angle $A$. Si l’on veut écrire l’angle $kA$ sous la même forme, c’est-à-dire
\[ kA= b \times 360^o \]
avec $b$ entre $0$ et $1$, nous devons multiplier $a$ par $k$ puis lui retrancher sa partie entière [6]. Ainsi, lorsqu’on calcule les distances entre le point d’angle $kA$ et celui d’angle $lA$, on calcule en fait $ka-la-p$ où $p$ est un entier.
Le problème, une fois notre attention portée sur $a$, est donc de maximiser les quantités $q\times a - p$ pour $p$ et $q$ entiers. Divisant par $q$, on espère que $a-p/q$ ne soit pas trop petit. Ainsi, $a$ ne doit pas être trop bien approché par des nombres rationnels. Cette remarque heuristique est donc en accord avec l’apparition du nombre d’or.

Pour passer du modèle de Hofmeister au nombre d’or, nous n’y sommes pas allés de main morte : la tige (ou l’ananas) a été modélisée par un cylindre, que nous nous sommes empressés de regarder de dessus pour ne plus avoir qu’un cercle ; ce faisant, nous remplaçons chaque primordium par un point sur le cercle (oubliant de ce fait
leur épaisseur et leur positionnement en hélice le long de la tige). Ceci ne justifie donc pas du tout l’apparition des nombres de Fibonacci dans la phyllotaxie, mais ouvre une piste intéressante.

Pour des approches plus complètes, le lecteur pourra consulter le chapitre 4 du livre « Les mathématiques du vivant », de Ian Stewart, ou le volume spécial de Pour la Science
sur « Les formes de la vie » [7].

Et l’épluchage

Bref, tout cela pour dire que l’ananas possède deux familles de $8$ et $13$ spirales chacune, et que c’est le cas de tous les ananas. L’ananas que vous tenez en main est donc représentatif de son espèce ! Alors comment le découper, comment enlever de façon optimale ces petits « yeux » qu’il serait désagréable de laisser ?

Pour enlever le moins de chair possible il s’agit

  • de passer par chacune des petites cellules qui pavent la peau de l’ananas ; les deux familles de spirales satisfont bien sûr à cette contrainte.
  • de choisir un tracé de découpe le plus court possible. Les spirales coupent les pavés de la peau de l’ananas de part en part : il faut choisir les spirales le long desquelles ces pavés sont les plus fins.

Le choix dépend certainement de l’ananas choisi, et pas de la combinatoire $(8,13)$.
Il s’agit de mesurer la largeur typique d’un pavé le long d’une spirale pour chacune des deux familles, et de comparer les quantités obtenues.
Eh bien ... pour mon ananas à moi, de forme oblongue, peu joufflu,
il semblerait que le meilleur choix soit fourni par la famille de $8$ spirales (celles qui tournent le plus autour de l’axe du fruit). Sur l’exemple que j’ai pu analyser ces jours-ci, il y a un gain d’environ cinq pour cent avec le choix que je suggère ! Mais je ne pense pas que ce choix vaille pour (presque) tout ananas.

L’histoire ne s’arrête pas là : prenez un couteau épluche-légume, et enlevez les aspérités des yeux de l’ananas une par une en faisant le tour de chaque œil avec la pointe du couteau ; c’est à peine plus long, cela gaspille nettement moins de chair ; c’est juste un peu moins joli lorsqu’on sert l’ananas en grandes parts dans l’assiette, mais cela ne change rien si vous le servez en tranches, ou en petits dés rôtis ! Bon appétit.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Herve5, Audibert
et
Romain Tessera.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Les carrés de chocolat sont, bien souvent, des rectangles. En tout cas, lorsqu’on les regarde de dessus. C’est le cas de la photographie employée pour illustrer ce paragraphe. Les carrés sont donc des rectangles ici (comme tout carré d’ailleurs, pourrait-on dire).

[2Lorsqu’on trace ces courbes sur l’ananas, on remarque qu’elles s’enroulent comme des hélices sur un cylindre. Vue de dessous, en regardant le cul de l’ananas, elles s’enroulent plutôt comme des « spirales ».

[3Afin de se familiariser avec les hélices qui peuvent spiraler sur un cylindre (une version simplifiée de l’ananas), vous pouvez prendre une feuille à carreaux rectangulaire, puis former un cylindre avec cette feuille en collant deux côtés opposés du rectangle. Recommencez en recollant les deux mêmes côtés opposés après avoir décalé légèrement la feuille, disons de $1$ ou $2$ carreaux. Dans cette nouvelle configuration, les lignes de la feuille forment des spirales sur le cylindre ; par exemple, si l’on décale de deux carrés, alors deux spirales exactement s’enroulent autour du cylindre ; si l’on décale de trois carrés, on obtient une famille à trois spirales (les spirales orthogonales forment une deuxième famille de spirales dont le nombre est fixé par le rectangle de papier utilisé). En changeant de rectangle et l’amplitude du décalage lorsqu’on recolle les côtés opposés, on obtient donc différents types de configurations (qui ne sont pas régies par la suite de Fibonacci).

[4Sur le nombre d’or, on peut lire sur ce site l’article de Pierre de La Harpe (NDLR).

[5Précisément, tout nombre réel $x$ qui n’est pas rationnel satisfait la propriété suivante : il existe une infinité de nombres rationnels $p/q$ tels que
\[ \vert x-\frac{p}{q}\vert \leq \frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{q^2}\; ; \]
pour le nombre d’or $\phi$, et pour tous les nombres de la forme $(a\Phi+b)/(c\Phi+d)$
avec $ad-bc=\pm 1$, la constante $1/\sqrt{5}$ ne peut être améliorée ; pour les autres nombres réels irrationnels, cette constante peut être remplacée par $1/\sqrt{8}$. Le lecteur intéressé par ces résultats peut consulter le livre de Cassels intitulé « An introduction to diophantine approximation » et les articles du site Wikipedia qui se rapportent au « spectre de Markoff ».

[6Dans l’exemple $A=70^o$, nous avons $a=70/360$ et pour $k=6$ nous obtenons $b=60/360$ après avoir retranché une unité à $6a$. En réduisant les fractions, $a=7/36$ et $b=1/6$.

[7Le chapitre 4 du livre de Stewart propose un état de l’art accessible qui inclut les travaux récents de H. Vogel, de Y. Couder et S. Douady, de L. Levitov, etc. Le volume de Pour la Science est paru en 2004 et comporte un article de Couder et Douady intitulé « La géométrie des plantes : l’art d’empiler ».

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «Ananas et chocolat» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Commentaire sur l'article

  • Ananas et chocolat

    le 26 septembre 2013 à 17:33, par levangileselonsaintmatheux

    Bonjour,
    Délicieux, et j’avoue que le chocolat....
    Revenons sur terre. Je me permets de vous signaler le site : http://www.piaf-ananas.fr/
    Rien à voir avec les maths, peut-être, mais tellement utile. Un inventeur qui vit à la Réunion, et qui a inventé un produit pour enlever les yeux des ananas, entre autres. Sauf que, on le trouve que là-bas, hélas !

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