Un défi par semaine

Août 2015, 1er défi

Le 7 août 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 32 :

Un cube d’arête $n$ cm est peint, puis découpé en $n^3$ petits cubes d’arête $1$ cm. Ainsi certains de ces petits cubes n’ont aucune face peinte, d’autres en ont une, deux ou trois. Pour quel nombre $n$ le nombre de cubes qui n’ont pas de face peinte est-il égal à celui des cubes qui n’ont qu’une seule face peinte ?

Solution du 5ème défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $22$ nombres.

Le produit des chiffres d’un nombre à deux chiffres est égal à 8 si c’est l’un des produits $1\times 8$ ou $2\times 4$. Donc $18$, $81$, $24$ et $42$ sont les premiers nombres ayant pour image $8$.

Il nous faut trouver les nombres dont les produits successifs de deux chiffres donnent à la fin 18, 81, 24 ou 42. Observons que tout nombre supérieur à $81=9\times 9$ ne peut pas être le produit de deux chiffres. Analysons les quatre cas.

  • Comme $18=2\times 9=6\times 3$, alors les nombres $29, 92, 36$ et $63$ ont pour image 8, après que l’on a fait le produit des chiffres deux fois.

$29$ est premier, donc il n’y a pas de nombre à deux chiffres dont le produit soit $29$. Nous allons dire que le nombre $29$ est « dernier ».

Comme $92>81$, $92$ est aussi « dernier ».

$36=9\times 4=6\times 6$, donc les nombres 49, 94 et 66 ont pour image 8. En plus, $94$ est « dernier » car $94>81$. $66$ est aussi « dernier » car il ne peut pas être obtenu comme le produit de deux chiffres. En effet, sa décomposition en facteurs
premiers est $6\times 11$.

$49$ s’écrit $49 = 7 \times 7 $ et $77$ est aussi « dernier ». Enfin, $63 = 7\times 9$ et donc 79 et 97 ont pour image 8, de plus ils sont « derniers » car $79$ est premier et $97>81$.

  • $81=9\times 9$, nous avons donc $99$ parmi les nombres ayant pour
    image 8. Comme $99>81$ celui-ci est « dernier ».
  • $24=3\times 8=4\times 6$, donc 38, 83, 46 et 64 sont des nombres ayant pour image 8. Les nombres $38, 83$ et $46$ ne sont pas le produit de deux chiffres donc ils sont « derniers ». $64$ s’écrit $64=8\times 8$ donc 88 est dans le groupe et il est « dernier » car $88>81$.
  • Enfin, $42=6\times 7$ et donc 76 et 67 sont dans le groupe mais ils sont tous les deux « derniers ».

En conclusion, il y a 22 nombres de deux chiffres auxquels on assigne le nombre $8$. À savoir 18, 81, 24, 42, 29, 92, 36, 63, 49, 94, 66, 79, 97, 77, 99, 38, 83, 46, 64, 88, 76, 67.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - BRIGITTEMARCON / BIOSPHOTO

Commentaire sur l'article

  • Août 2015, 1er défi

    le 7 août 2015 à 09:54, par Lhooq

    D’après mes calculs je remarque que le nombre de cubes à une face colorée est égal à

    $4*(n-2)^2$

    et le nombre de cube à aucune face à

    $(n-2)^3$

    On veut donc résoudre

    $(n-2)^3 = 4*(n-2)^2$

    donc

    $(n-2)^3 - 4*(n-2)^2 = 0$

    Enfin

    $(n-2)^2* (n - 2 - 4) = 0$

    Et je trouve donc deux solutions

    Solutions

    2 et 6

    La question aurait donc dû être « quels sont les nombres n... » non ?

    Répondre à ce message
    • Août 2015, 1er défi

      le 7 août 2015 à 11:18, par Bernard Hanquez

      Le nombre de cubes qui n’ont qu’une face peinte n’est pas 4∗(n−2)^2 mais 6∗(n−2)^2 (un cube possède 6 faces).

      Donc les solutions sont n = 2 et n = 8, auxquelles on peut ajouter le cas particulier n = 1.

      Répondre à ce message
      • Août 2015, 1er défi

        le 7 août 2015 à 11:28, par Lhooq

        Au temps pour moi, erreur d’inattention. :D

        Répondre à ce message
      • Août 2015, 1er défi

        le 8 août 2015 à 09:03, par gedspilett

        Bonjour

        Je pense que pour établir les formules qui définissent le nombre de cubes non peints ou peints sur une seule face, il est nécessaire de préciser que n≥3.

        Si l’on écrit (n-2)³= 6(n-2)² , on doit pouvoir alors écrire (n-2)³⁄ (n-2)² = 6 , et avec n=2 on a un petit problème !

        Plus intuitivement, je dirais qu’avec n=1 et n=2, il n’y a aucun cube non peint et aucun cube peint sur une face, comme pour n=0 d’ailleurs, alors pourquoi chercher des rapports entre des choses qui n’existent pas !

        Je pense que l’auteur, dans sa grande rigueur, aurait peut-être du préciser tout cela dans l’énoncé .

        Répondre à ce message
        • Août 2015, 1er défi

          le 8 août 2015 à 09:54, par Lhooq

          Je ne pense pas que si nous écrivons $(n-2)^2 = 6*(n-2)$ nous soyons obligés de préciser que $n \neq 2$ tant que nous ne faisons pas de division.

          Je me suis aussi posé la question pour $n = 0$ mais comme on définit qu’on a un cube d’arête $n$ cm je me suis dit que cela obligeait $n > 0$.

          Les choses existent vu qu’aucun cube n’est peint sur une face et aucun cube n’est non peint donc on a bien $0 = 0$ ce qui est une solution, non ? ;-)

          Je rencontre souvent cela en logique lorsqu’il s’agit de savoir si une propriété est vrai $\forall x$.

          Par exemple,

          $ Q(x) = \forall x, \perp$

          $P(E) = \forall x \in E, Q(x)$

          $\exists E, P(E) ?$

          On voudrait dire qu’il n’existe aucune ensemble $E$ qui puisse vérifier $P(E)$ et ce serait erroné que de penser ça car $\emptyset$ vérifie la propriété.

          Rien n’est pas synonyme de n’importe quoi.

          Répondre à ce message

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