Un défi par semaine

Août 2015, 2e défi

El 14 agosto 2015  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 33 :

Étant donnés $7$ points sur une droite, on colorie en rouge les milieux de tous les segments déterminés par ces points. Trouver la quantité minimale de points rouges.

Solution du 1er défi de Août :

Enoncé

La réponse est $n=8$.

Le nombre de petits cubes qui n’ont pas de face peinte est $(n-2)(n-2)(n-2) = (n-2)^3$; ce sont ceux qui ne touchent aucune des faces du grand cube. Le nombre de petits cubes qui ont une face peinte est $6(n-2)(n-2)=6(n-2)^2$; ce sont les cubes qui sont sur les faces mais pas sur les arêtes. Nous devons trouver la valeur de $n$ pour laquelle ces deux nombres sont égaux. On cherche donc la solution de l’équation

$(n-2)^3 = 6 (n-2)^2$

$(n-2) = 6$

$n = 8.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Août 2015, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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  • Août 2015, 2ème défi

    le 14 de agosto de 2015 à 23:33, par gedspilett

    7 points distincts sur un axe forment : 7!/2!x5! = 21 segments distincts et donc un maximum de 21 points rouges distincts .

    Pour réduire ce nombre maxi de points rouges, il faut faire en sorte que certains d’entre eux se confondent et ne fassent plus qu’un par un jeu de symétries .

    Intuitivement, en laissant entre chacun des 7 points consécutifs toujours la même distance, il est facile de voir que les points rouges se situent soit au milieu des 6 segments ainsi formés, soit sur les 5 points intermédiaires, réduisant leur nombre à 11

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