Un défi par semaine

Août 2015, 3e défi

21 août 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 34 :

Trouver le plus petit entier positif $N$ tel qu’il y ait exactement $25$ entiers $x$ satisfaisant l’inégalité

$2\leq \dfrac{N}{x}\leq 5.$

Solution du 2ème défi de Août :

Enoncé

La réponse est $11$ points.

Si l’on munit la droite d’un repère, on peut assigner à chaque point sa coordonné qui est un nombre réel. Soient $x_1 < x_2 < \cdots < x_7$ les coordonnées des sept points.

On colorie en rouge le milieu de chaque segment dont les extrémités ont pour coordonnées ces nombres. Nous allons montrer qu’il y a au moins $11$ points coloriés en rouge.

Si un segment a pour extrémités des points d’abscisses $x_i$ et $x_j$, alors le milieu a pour coordonnées $\frac{x_i+x_j}{2}$. On considère les $11$ points coloriés en rouge ayant pour coordonné : $\frac{x_1+x_2}{2} < \frac{x_1+x_3}{2} < \frac{x_1+x_4}{2} < \frac{x_1+x_5}{2} < \frac{x_1+x_6}{2} < \frac{x_1+x_7}{2} < \frac{x_2+x_7}{2} < \frac{x_3+x_7}{2} < \frac{x_4+x_7}{2} < \frac{x_5+x_7}{2} < \frac{x_6+x_7}{2}$. Ces $11$ points sont différents, donc il y a au moins $11$ points coloriés en rouge.

Donnons, maintenant, un exemple dans lequel on ait exactement $11$ points. Cela montrera que le plus petit nombre de points est $11$. Si sur la droite on choisit les $7$ points $0$, $2$, $4$, $6$, $8$, $10$ et $12$ on peut voir que seuls seront coloriés en rouge les $11$ points $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$ et pas un de plus.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - BRIGITTEMARCON / BIOSPHOTO

Commentaire sur l'article

  • Août 2015, 3ème défi

    le 21 août 2015 à 11:44, par Valrictin

    L’inéquation revient à 2x<=N et N<=5x
    Pour que 25 entiers positifs satisfassent la condition, prenons-les consécutivement, avec pour minimum m et pour maximum M. Il faut donc que (*) M-m+1=25 (Comme par exemple si le minimum est 2, et le maximum 26, 26-2+1=25 entiers)
    Par ailleurs, ces entiers doivent satisfaire l’inéquation principale, et donc a fortiori les extrema le doivent. On se rend compte aisément que seuls importent N<=5m et 2M<=N, ce qui revient à 2M<=5m, soit (**) 5m-2M>=0.
    On résoud le système (*) et (**), et on obtient M=24+m et 3m>=48
    Le couple solution le plus petit est (m ;M)=(16 ;40)
    Ainsi N=80

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    • Août 2015, 3ème défi

      le 22 août 2015 à 20:12, par Idéophage

      On peut aussi réduire ça à $\frac{1}{2} \geq \frac{x}{N} \geq \frac{1}{5}$. On a droit à un écart de $\frac{1}{2} - \frac{1}{5}$ et on veut y placer $25$ nombres au minimum, donc il faut diviser par $24$ pour avoir le pas élémentaire maximal : $\frac{(1/2) - (1/5)}{24} = \frac{1}{80}$.

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  • Août 2015, 3ème défi

    le 24 août 2015 à 23:27, par ROUX

    x est compris entre N/5 et N/2.
    On pose q=N/5 (1) ; alors N/2=q+24 (2).
    On substitue (1) dans (2) et on résout l’équation en N.
    J’ai bien aimé les deux solutions précédentes.

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