Un défi par semaine
Août 2015, 3e défi
El
21 agosto 2015
- Escrito por
Ana Rechtman
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Semaine 34 :
Trouver le plus petit entier positif $N$ tel qu’il y ait exactement $25$ entiers $x$ satisfaisant l’inégalité
$2\leq \dfrac{N}{x}\leq 5.$
Enoncé
La réponse est $11$ points.
Si l’on munit la droite d’un repère, on peut assigner à chaque point sa coordonné qui est un nombre réel. Soient $x_1 < x_2 < \cdots < x_7$ les coordonnées des sept points.
On colorie en rouge le milieu de chaque segment dont les extrémités ont pour coordonnées ces nombres. Nous allons montrer qu’il y a au moins $11$ points coloriés en rouge.
Si un segment a pour extrémités des points d’abscisses $x_i$ et $x_j$, alors le milieu a pour coordonnées $\frac{x_i+x_j}{2}$. On considère les $11$ points coloriés en rouge ayant pour coordonné : $\frac{x_1+x_2}{2} < \frac{x_1+x_3}{2} < \frac{x_1+x_4}{2} < \frac{x_1+x_5}{2} < \frac{x_1+x_6}{2} < \frac{x_1+x_7}{2} < \frac{x_2+x_7}{2} < \frac{x_3+x_7}{2} < \frac{x_4+x_7}{2} < \frac{x_5+x_7}{2} < \frac{x_6+x_7}{2}$. Ces $11$ points sont différents, donc il y a au moins $11$ points coloriés en rouge.
Donnons, maintenant, un exemple dans lequel on ait exactement $11$ points. Cela montrera que le plus petit nombre de points est $11$. Si sur la droite on choisit les $7$ points $0$, $2$, $4$, $6$, $8$, $10$ et $12$ on peut voir que seuls seront coloriés en rouge les $11$ points $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$ et pas un de plus.
Post-scriptum : Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.
Article édité par
Ana Rechtman
Para citar este artículo:
Ana Rechtman
— «Août 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015
Comentario sobre el artículo
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