Un défi par semaine

Août 2015, 3e défi

Le 21 août 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 34 :

Trouver le plus petit entier positif $N$ tel qu’il y ait exactement $25$ entiers $x$ satisfaisant l’inégalité

$2\leq \dfrac{N}{x}\leq 5.$

Solution du 2ème défi de Août :

Enoncé

La réponse est $11$ points.

Si l’on munit la droite d’un repère, on peut assigner à chaque point sa coordonné qui est un nombre réel. Soient $x_1 < x_2 < \cdots < x_7$ les coordonnées des sept points.

On colorie en rouge le milieu de chaque segment dont les extrémités ont pour coordonnées ces nombres. Nous allons montrer qu’il y a au moins $11$ points coloriés en rouge.

Si un segment a pour extrémités des points d’abscisses $x_i$ et $x_j$, alors le milieu a pour coordonnées $\frac{x_i+x_j}{2}$. On considère les $11$ points coloriés en rouge ayant pour coordonné : $\frac{x_1+x_2}{2} < \frac{x_1+x_3}{2} < \frac{x_1+x_4}{2} < \frac{x_1+x_5}{2} < \frac{x_1+x_6}{2} < \frac{x_1+x_7}{2} < \frac{x_2+x_7}{2} < \frac{x_3+x_7}{2} < \frac{x_4+x_7}{2} < \frac{x_5+x_7}{2} < \frac{x_6+x_7}{2}$. Ces $11$ points sont différents, donc il y a au moins $11$ points coloriés en rouge.

Donnons, maintenant, un exemple dans lequel on ait exactement $11$ points. Cela montrera que le plus petit nombre de points est $11$. Si sur la droite on choisit les $7$ points $0$, $2$, $4$, $6$, $8$, $10$ et $12$ on peut voir que seuls seront coloriés en rouge les $11$ points $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$ et pas un de plus.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - BRIGITTEMARCON / BIOSPHOTO

Commentaire sur l'article

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  • Août 2015, 3ème défi

    le 24 août 2015 à 23:27, par ROUX

    x est compris entre N/5 et N/2.
    On pose q=N/5 (1) ; alors N/2=q+24 (2).
    On substitue (1) dans (2) et on résout l’équation en N.
    J’ai bien aimé les deux solutions précédentes.

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