Un défi par semaine

Août 2015, 4e défi

Le 28 août 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 35 :

Combien de triplets de nombres premiers $(p, q, r)$ satisfont l’équation

$p+q^2 + r^3=200$ ?

Solution du 3ème défi de Août :

Enoncé

La réponse est $80$.

De l’inégalité de gauche on déduit $x\leq\frac{N}{2}$ et de celle de droite $x\geq \frac{N}{5}$. Ainsi nous cherchons le plus petit nombre entier $N$ tel qu’il y ait $25$ entiers $x$ tels que $\frac{N}{5}\leq x\leq\frac{N}{2}$.

Supposons d’abord que $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{5}$ sont des nombres entiers ; alors

$\frac{N}{2}-\frac{N}{5}\geq 24.$

Cela donne $3N\geq 240$, puis $N\geq 80$. Pour $N=80$, $\frac{N}{5}=16$ et $\frac{N}{2}=40$. Il y a $25$ entiers $x$ tels que $16\leq x\leq 40$, donc $N=80$ est le plus petit nombre divisible par 2 et 5 qui satisfait l’inégalité du problème.

Supposons ensuite que $\frac{N}{2}-\frac{N}{5}$ n’est pas un nombre entier ; alors nous avons

$\frac{N}{2}-\frac{N}{5}\geq 25,$

d’où $3N\geq 250$ et $N\geq \frac{250}{3}>83$. Par conséquent la plus petite valeur de $N$ est $80$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.