Un défi par semaine

Août 2015, 4e défi

28 août 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 35 :

Combien de triplets de nombres premiers $(p, q, r)$ satisfont l’équation

$p+q^2 + r^3=200$ ?

Solution du 3ème défi de Août :

Enoncé

La réponse est $80$.

De l’inégalité de gauche on déduit $x\leq\frac{N}{2}$ et de celle de droite $x\geq \frac{N}{5}$. Ainsi nous cherchons le plus petit nombre entier $N$ tel qu’il y ait $25$ entiers $x$ tels que $\frac{N}{5}\leq x\leq\frac{N}{2}$.

Supposons d’abord que $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{5}$ sont des nombres entiers ; alors

$\frac{N}{2}-\frac{N}{5}\geq 24.$

Cela donne $3N\geq 240$, puis $N\geq 80$. Pour $N=80$, $\frac{N}{5}=16$ et $\frac{N}{2}=40$. Il y a $25$ entiers $x$ tels que $16\leq x\leq 40$, donc $N=80$ est le plus petit nombre divisible par 2 et 5 qui satisfait l’inégalité du problème.

Supposons ensuite que $\frac{N}{2}-\frac{N}{5}$ n’est pas un nombre entier ; alors nous avons

$\frac{N}{2}-\frac{N}{5}\geq 25,$

d’où $3N\geq 250$ et $N\geq \frac{250}{3}>83$. Par conséquent la plus petite valeur de $N$ est $80$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - BRIGITTEMARCON / BIOSPHOTO

Commentaire sur l'article

  • Août 2015, 4ème défi

    le 28 août 2015 à 10:45, par ROUX

    r est inférieur à 5 car 7 au cube est égal à 343, qui est strictement supérieur à 200.
    Donc r peut être égal à 2, 3 ou 5.
    J’ai commencé par r=5.
    5 au cube est égal à 125.
    Il reste donc 200-125=75 à fabriquer.
    Donc q est inférieur à 7 car 11 au carré est supérieur à 75 et 7 au carré est inférieur à 75.
    Donc q peut être égal à 2, 3, 5 ou 7.
    Bah non !
    Non, car le carré d’un nombre impair est égal à un nombre impair et la différence de deux nombres impairs est égal à un nombre pair. Or, une fois que j’aurai soustrait q au carré à 75, il faudra que j’ai un nombre premier qui est impair ou égal à 2.
    Le plus grand carré possible parmi les valeurs de q est 49 qui, soustrait à 75 donne un nombre pair trop nettement strictement supérieur à 2.
    Donc seul q=2 peut être un candidat car le carré de 2, 4, est pair et sa soustraction à 75 donnera un nombre impair, peut-être premier.
    Oui ! 71 est premier.
    Donc, avec r=5, un seul triplet : (71, 2, 5).

    Avec r=3, on recommence la procédure, très rapide puisque 3 au cube est à nouveau un nombre impair (27).
    Il faut donc maintenant fabriquer 200-27=173.
    q peut être égal à 2 ou 13 (toutes les autres valeurs donneront après la soustraction de leurs carrés à 173 un nombre pair trop nettement strictement supérieur à 2) .
    13 au carré est égal à 169 ; la soustraction à 173 donne 4 qui n’est pas premier.
    2 au carré est égal à 4 ; la soustraction à 173 donne 169 qui n’est pas premier.
    Donc, avec r=3, aucun triplet.

    Avec r=2, le choix est plus large puisque le cube de 2 est 8 et qu’il faut donc fabriquer 200-8=192 qui est un nombre pair qui s’obtient notamment par la somme de deux nombres impairs.
    q peut être égal à 3, 5, 7, 11 ou 13.
    Et dans ce cas, r est respectivement égal à 183, 167, 143, 71 et 23.
    Mais 183 et 143 n’apparaissent pas dans uns liste de nombres premiers.
    Avec r=2, on a les triplets (167,5,2) ; (71,11,2) et (23,13,2).

    Ma réponse est 4.

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  • Août 2015, 4e défi

    le 30 août 2015 à 16:39, par gedspilett

    p+q²+r³=200 entraine p+q²=200-r³ avec trois solutions possibles pour r qui sont : r=2, r=3, r=5

    nous aurons donc : p+q²= 192 (r=2), p+q²=173 (r=3) et p+q²=75 (r=5)

    avec excel il est facile de créer un tableau pour additionner les nombres premiers et leur carré (p+q²)

    dans le tableau, on trouvera une fois le nombre 75=71+4=71+2² qui donne le triplet (71,2,5), le nombre 173 n’apparaît pas et le nombre 192 apparaît trois fois pour 71+121=71+11², 23+169=23+13² et pour 167+25=167+5² donnant les triplets (71,11,2) , (23,13,2) et (167,5,2)

    en résumé quatre triplets trouvés

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  • Août 2015, 4e défi

    le 31 août 2015 à 23:05, par sigma

    l’équation p + q^2 + r^3 = 200
    nous permet d’écrire q^2<200 et r^3< 200.
    soit donc q∈2, 3, 5, 7, 11, 14 et r∈ 2, 3, 5.
    En construisant un tableau 3*6( en colonnes les valeurs de q et en lignes les valeurs de r) et où l’intersection de chaque ligne et de chaque colonne correspond à la valeur 200 - r^3 - q^2 on déduit qu’on a 4 triplets possibles qui sont (71, 2, 5), (71, 11, 2), (23, 13, 2) et (167, 5, 2).

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  • Août 2015, 4e défi

    le 3 septembre 2015 à 09:34, par nef2240

    Bonjour,
    6 triplets juste avec un peu calcul mental et raisonnement
    Le r3 qui peut être le fort ici r<=5 ensuite terme q2 qui peut être le plus fort
    r r3 200-r3=p+q2
    1 1 199 q<=13 (1,2,3,5,7,11,13) donc déduit p
    (1,4,9,25,49,121,169) impossible (rappel impair-impair est tjs pair pas besoin calculer)
    2 8. 192 donne
    (191,.,.,167,143,71,23) 4 solutions possibles (191,1,2) ;(167,5,2) ;(71,11,2) et (23,13,2)
    3 27. 173 impossible (impair)
    4 64. 136 unique solution (127,3,4)
    5 125 75 (71,2,5) unique solution car reste imp
    Donc 6 triplets.

    Pour info il n’y a pas un Algo permettant de déterminer tout les facteurs premiers pour un nombre quelconque dans un temps linéaire (si vous trouvez vous seriez célèbre et riche !)
    Par exemple : comment feriez vous pour trouver facteur pour 143 ! (Chacun a ses heuristiques)

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    • Août 2015, 4e défi

      le 3 septembre 2015 à 10:11, par Daniate

      Petit rappel, un nombre premier a exactement deux diviseurs, donc 1 n’est pas premier. Ensuite le critère de division par 11 pour les nombres à 3 chiffres (abc) est a+c=b ou a+c=11+b. Comme 1+3=4 on a 143 divisible par 11.

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      • Août 2015, 4e défi

        le 3 septembre 2015 à 11:34, par nef2240

        Merci rappel mais il n’y a pas Algo ou manière optimale
        143 moi je procède racine carré et je regarde multiple permettant d’obtenir 3 (3x1 ou 9x7)

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        • Août 2015, 4e défi

          le 3 septembre 2015 à 23:32, par Daniate

          En parlant de carré 143=144-1=12²-1²=(12-1)(12+1), mais heureusement pas d’Algo sinon aucun message par internet ne serait sécurisé. Bonne nuit.

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    • Août 2015, 4e défi

      le 3 septembre 2015 à 20:01, par ROUX

      (191,1,2) : 1 n’est pas premier.
      (127,3,4) : 4 n’est pas premier.

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      • Août 2015, 4e défi

        le 4 septembre 2015 à 09:41, par nef2240

        Of course c’est l’idée qu’il fait regarder (imaginez RER bondée et a moi au milieu avec défi et son écriture) ahah
        r 2 3 5 c’était mon enthousiasme de repartir ds ses petits passe temps
        Algo décompose en facteur premier est un pb fondamental en info NP=P on est pas capable de dire si on peut le trouver dans un temps raisonnable
        merci pour vos remarques

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