Un défi par semaine

Août 2016, 1er défi

Le 5 août 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (12)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 32 :

Étant donné un nombre réel $x$, on note $\lfloor x\rfloor$ le plus grand entier inférieur ou égal à $x$, et $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ la partie décimale de $x$. Trouver tous les nombres non négatifs $x$ pour lesquels $\lfloor x\rfloor\times \{x\}=x$.

Solution du 5e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $9$.

Les nombres $a, b, c$ et $d$ sont différents, donc $1-a$, $1-b$, $1-c$ et $1-d$ sont tous différents aussi. Comme la décomposition en facteurs premiers de $10$ est $2\times 5$, $10$ ne peut s’écrire comme le produit de $4$ entiers différents que si deux d’entre eux sont $1$ et $-1$. Les deux facteurs restants sont alors $-2$ et $5$ ou $2$ et $-5$.

Comme $a>b>c>d$ nous avons $1-a< 1-b<1-c<1-d$. D’où $1-b =-1$ et $1-c=1$, ce qui implique que $b=2$ et $c=0$. Nous avons alors deux cas à considérer. Dans le premier, $1-a=-2$ et $1-d=5$, d’où $a=3$ et $d=-4$.
Dans le second cas, $1-a=-5$ et $1-d=2$, d’où $a=6$ et $d=-1$.

La valeur de $a+b-c-d$ est donc égale à $3+2-0-(-4)=9$ dans le premier cas et à $6+2-0-(-1)=9$ dans le second cas. Donc, dans tous les cas, $a+b-c-d=9$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Août 2016, 1er défi

    le 5 août à 08:09, par Al_louarn

    $x=0$ est l’unique solution.

    Si $\lfloor x\rfloor = 0$ ou $\{x\}=0$ alors $\lfloor x\rfloor \{x\} = 0$ et donc $x=0$.

    Sinon :
    D’une part $\lfloor x\rfloor > 0 $ donc $\lfloor x\rfloor \geq 1$. Alors partant de $\{x\} < 1$, en multipliant par $\lfloor x\rfloor$ nous obtenons $\lfloor x\rfloor \{x\} < \lfloor x\rfloor$.
    D’autre part $\{x\} > 0$ donc en ajoutant $\lfloor x\rfloor$ nous obtenons $\lfloor x\rfloor < \lfloor x\rfloor + \{x\}$, c’est-à-dire $\lfloor x\rfloor < x$.
    Finalement par transitivité nous obtenons $\lfloor x\rfloor \{x\} < x$ donc il n’y a pas d’autre solution.

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    • Août 2016, 1er défi

      le 6 août à 14:45, par FDesnoyer

      $[x]\times\{x\}=0$ donc $x=0$ ? je ne crois pas avoir compris votre argument

      En revanche, votre idée me semble bonne et $x=0$ serait la seule solution.

      Cordialement,

      F.D.

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      • Août 2016, 1er défi

        le 7 août à 09:48, par orion8

        Lisez bien l’énoncé ! (pour lesquels...)

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        • Août 2016, 1er défi

          le 7 août à 19:01, par FDesnoyer

          Bonjour,

          « résoudre une équation consiste à tourver TOUTES LES VALEURS de l’inconnue qui satisfont l’équation ».

          Le pluriel dans l’énoncé ne m’incite, donc, pas à chercher d’autres solutions,

          (toutefois je commence à entrevoir une démonstration de $S=\{0\}$ car vous m’avez amené à reprendre le problème dans ma tête, merci !!!)

          bien amicalement,

          F.D.

          PS : il est vrai que la lecture détaillée des énoncés est, définitivement, mon point faible ! ;-)

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      • Août 2016, 1er défi

        le 8 août à 10:49, par Al_louarn

        Simple transitivité de l’égalité : le seul réel $x$ tel que $\lfloor x\rfloor \times \{x\} = 0$ et $\lfloor x\rfloor \times \{x\} = x$ est forcément $x=0$.

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  • A propos du défi précédent

    le 5 août à 08:20, par Al_louarn

    L’énoncé exigeait que les nombres $a$,$b$,$c$,$d$ soient positifs, ce qui ne colle pas avec la solution donnée.

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    • A propos du défi précédent

      le 5 août à 08:53, par Daniate

      Certes, je suis bien d’accord, et si pour ce défi on s’affranchit, comme pour le précédent, de la consigne positif il apparaît une infinité de solutions construites à partir de n’importe quel entier n strictement positif par x= 2-n +1/n : partie entière 1-n, partie décimale 1-1/n.

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      • A propos du défi précédent

        le 5 août à 11:29, par Al_louarn

        Oui, à condition de prendre $n>2$, et de remplacer « partie entière » par « troncature », ce qui n’est pas la même chose pour les nombres négatifs.
        Ainsi $\lfloor -1,5 \rfloor = -2$ : comme indiqué dans l’énoncé $\lfloor x \rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.
        La troncature consiste simplement à enlever les décimales.

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        • A propos du défi précédent

          le 5 août à 16:32, par Daniate

          Bonjour,

          Tout d’abord avec n=1 on retrouve l’unique solution positive. Ensuite je persiste à dire que 1-n est le plus grand entier inférieur ou égal à x puisque x-(1-n)=1-1/n à l’évidence positif compris entre 0 (sens large) et 1 (sens strict). Pour n=2 on trouve x=2-2-1/2=-0,5 dont la partie entière est -1 et la partie décimale 0,5.

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          • A propos du défi précédent

            le 5 août à 17:21, par Al_louarn

            J’ai compris la source de notre incompréhension ! Votre formule est en fait x = 2 - n - 1/n mais vous aviez écrit x = 2 - n + 1/n
            Dans ce cas tout s’éclaire et nous tombons d’accord :-)
            Amicalement

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            • A propos du défi précédent

              le 5 août à 18:46, par ruello

              Effectivement, il s’agit des réels de la forme 2-n -1/n
              ou encore les solutions sont de la forme n²/(n-1)= n +n/(n-1) = n+1+1/(n-1) avec n entier relatif négatif ou nul.
              La partie entière est dans ce cas n .
              Cordialement.

              Répondre à ce message
  • Août 2016, 1er défi

    le 8 août à 23:55, par Yann

    Nous avons l’égalité suivante : (notez le changement de signe)
    y=x−⌊x⌋
    et cherchons tous les nombes x qui vérifient :
    ⌊x⌋×y=x.

    On injecte la seconde égalité dans la premiére :
    y=⌊x⌋×(y−1) on obtient donc ⌊x⌋=y/(y−1)
    or ⌊x⌋>0 et y<1sont des conditions du problème.

    La seule valeur de y/(y−1) qui est positive dans l’intervalle [0,1[ est lorsque y=0 .
    On obtient aussi ⌊x⌋=0/(0−1)=0
    Et enfin x=0

    Merci à image des maths !
    PS : Je ne sais pas comment faire de vraies balises de maths, quelqu’un pourrait m’aider ?

    Répondre à ce message

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