Un défi par semaine

Août 2016, 2e défi

Le 12 août 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 33 :

Soit $ABC$ un triangle d’aire $1$ cm$^2$. Soient $X$ et $Y$ des points du segment $[AB]$ et $Z$ un point du segment $[AC]$ tels que $XY=2AX$, $(XZ)$ soit parallèle à $(YC)$ et $(YZ)$ soit parallèle à $(BC)$. Déterminer l’aire du triangle $XYZ$.

Solution du 1er défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $x=0$.

Si $x=0$, alors $\lfloor x\rfloor \times\{x\}=\lfloor0\rfloor\times\{0\}=0\times 0=0$, donc $x=0$ est une solution.

Si $x>0$, alors $0\leq \lfloor x\rfloor \leq x$ et $0\leq\{x\} < 1$, donc $\lfloor x\rfloor\times\{x\} Ainsi la seule solution est $x=0$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2016, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Août 2016, 2e défi

    le 12 août à 17:39, par orion8

    Bonjour. En utilisant des triangles de même hauteur, et Thalès, je trouve $\dfrac{2}{27}$. Confirmez-vous ?

    Répondre à ce message
    • Août 2016, 2e défi

      le 12 août à 22:18, par Daniate

      Bonsoir, je confirme, surpris que personne n’ait donné la réponse plus tôt.

      Répondre à ce message
      • Août 2016, 2e défi

        le 13 août à 10:01, par orion8

        Solution proposée

        Nommons $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $AXZ$

        Comme $XY=2AX$, et que $AXZ$ et $XYZ$ ont même hauteur, l’aire de $XYZ$ est $2\mathscr{A}$.

        Par Thalès, il vient $ZC=2ZA$ car $(ZX)$//$(YC)$ ; comme $AYZ$ et $ZYC$ ont même hauteur, l’aire de $ZYC$ vaut deux fois celle de $AYZ$, soit $2\times(\mathscr{A}+2\mathscr{A})=6\mathscr{A}$.

        On montre de même que l’aire de $YBC$ vaut deux fois celle de $AYC$ car, par Thalès, $YB=2YA$. Soit $2\times(3\mathscr{A}+6\mathscr{A}) = 18\mathscr{A}$.

        L’aire de $ABC$ vaut donc : $\mathscr{A}+2\mathscr{A}+6\mathscr{A}+18\mathscr{A}=27\mathscr{A}$. L’aire cherchée étant $2\mathscr{A}$, il vient bien : $2\mathscr{A}= \dfrac{2}{27}$ .

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