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Un défi par semaine

Août 2016, 3e défi

Le 19 août 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 34 :

Trouver le nombre maximal de côtés qu’un polygone convexe peut avoir si tous ses angles mesurent un nombre entier de degrés. (Un polygone est convexe si quels que soient deux points à l’intérieur du polygone, le segment qui les relie est à l’intérieur de ce polygone.)

Solution du 2e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $\frac{2}{27}\, \mbox{cm}^2$.

Notons $\mbox{aire}(XYZ)$ l’aire du triangle $XYZ$. Comme $(XZ)$ est parallèle à $(YC)$, en utilisant le théorème de Thalès on a $\frac{1}{2} =\frac{AX}{XY}=\frac{AZ}{ZC}$, d’où $ZC=2AZ$. De même, en utilisant $(YZ)$ parallèle à $(BC)$, on a

$\frac{YZ}{BC}= \frac{AY}{AB}=\frac{AZ}{AC}=\frac{AZ}{AZ+ZC}=\frac{1}{2}.$

Comme les triangles $XYZ$ et $AYZ$ ont la même hauteur issue de $Z$, on a

$\frac{\mbox{aire}(XYZ)}{\mbox{aire}(AYZ)}=\frac{XY}{AY}=\frac{2AX}{AX+XY}=\frac{2AX}{3AX}=\frac{2}{3}.$

De même, les triangles $AYC$ et $ABC$ ont la même hauteur issue de $C$ ; par conséquent

$\frac{\mbox{aire}(AYC)}{\mbox{aire}(ABC)}=\frac{AY}{AB}=\frac{1}{3}.$

Pour finir, les triangles $AYZ$ et $AYC$ ont en commun la base $[AY]$. Notons $S$ et $T$ les pieds des hauteurs respectives de ces triangles sur cette base $[AY]$. Alors les triangles $ASZ$ et $ATC$ sont semblables puisque leurs angles sont égaux. Par suite,

$\frac{\mbox{aire}(AYZ)}{\mbox{aire}(AYC)}=\frac{SZ}{TC}=\frac{AZ}{AC}=\frac{1}{3}.$

Donc
$\mbox{aire}(XYZ)=\frac{2}{3}\mbox{aire}(AYZ)=\frac{2}{9}\mbox{aire}(AYC)=\frac{2}{27}\mbox{aire}(ABC)=\frac{2}{27}\,\mbox{cm}^2.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Août 2016, 3e défi

le 19 août 2016 à 12:34, par Blaxapate

Je trouve 360 côtés, avec un polygone dont tous les angles sont de 179°.
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Août 2016, 3e défi

le 20 août 2016 à 08:45, par orion8

Pas mieux. Et selon le sens de « tous ses angles », je dirais $179°$ et $1°$.
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Août 2016, 3e défi

le 22 août 2016 à 13:44, par Clément

Même réponse pour moi mais je vais formaliser un peu plus la réponse.

La somme des angles dans un polygone est S = 180° x (n - 2)
n étant la quantité d’angles du polygone.
De plus le polygone étant convexe les angles sont < 180° soit pour être entiers 179° maxi.
On peut donc supposer un polygone composé uniquement d’angles de 179° qui est le cas le plus extrême (car l’angle est le plus ouvert possible).

On a donc S = 179 x n = 180 x (n - 2)
soit 179 n = 180 n - 360
donc n = 360

On a alors un polygone de 360 côtés.
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