Un défi par semaine
Août 2016, 3e défi
Le 19 août 2016 Voir les commentaires (3)
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Semaine 34 :
Trouver le nombre maximal de côtés qu’un polygone convexe peut avoir si tous ses angles mesurent un nombre entier de degrés. (Un polygone est convexe si quels que soient deux points à l’intérieur du polygone, le segment qui les relie est à l’intérieur de ce polygone.)
Solution du 2e défi d’Août :
La réponse est $\frac{2}{27}\, \mbox{cm}^2$.
Notons $\mbox{aire}(XYZ)$ l’aire du triangle $XYZ$. Comme $(XZ)$ est parallèle à $(YC)$, en utilisant le théorème de Thalès on a $\frac{1}{2} =\frac{AX}{XY}=\frac{AZ}{ZC}$, d’où $ZC=2AZ$. De même, en utilisant $(YZ)$ parallèle à $(BC)$, on a
$\frac{YZ}{BC}= \frac{AY}{AB}=\frac{AZ}{AC}=\frac{AZ}{AZ+ZC}=\frac{1}{2}.$
Comme les triangles $XYZ$ et $AYZ$ ont la même hauteur issue de $Z$, on a
$\frac{\mbox{aire}(XYZ)}{\mbox{aire}(AYZ)}=\frac{XY}{AY}=\frac{2AX}{AX+XY}=\frac{2AX}{3AX}=\frac{2}{3}.$
De même, les triangles $AYC$ et $ABC$ ont la même hauteur issue de $C$ ; par conséquent
$\frac{\mbox{aire}(AYC)}{\mbox{aire}(ABC)}=\frac{AY}{AB}=\frac{1}{3}.$
Pour finir, les triangles $AYZ$ et $AYC$ ont en commun la base $[AY]$. Notons $S$ et $T$ les pieds des hauteurs respectives de ces triangles sur cette base $[AY]$. Alors les triangles $ASZ$ et $ATC$ sont semblables puisque leurs angles sont égaux. Par suite,
$\frac{\mbox{aire}(AYZ)}{\mbox{aire}(AYC)}=\frac{SZ}{TC}=\frac{AZ}{AC}=\frac{1}{3}.$
Donc
$\mbox{aire}(XYZ)=\frac{2}{3}\mbox{aire}(AYZ)=\frac{2}{9}\mbox{aire}(AYC)=\frac{2}{27}\mbox{aire}(ABC)=\frac{2}{27}\,\mbox{cm}^2.$
Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.
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Pour citer cet article :
Ana Rechtman — «Août 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016
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