Un défi par semaine

Août 2016, 4e défi

26 août 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 35 :

Le dernier chiffre d’un nombre entier a été effacé, et la différence entre le nombre alors obtenu et le nombre de départ est $2016$. Trouver tous les nombres entiers satisfaisant cette condition.

Solution du 3e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $360$.

La somme des angles d’un polygone convexe à $n$ côtés est $180^{\circ}(n-2)$. Si l’un des angles mesure plus de $180^\circ$, le polygone ne peut pas être convexe, donc la mesure maximale entière d’un angle est $179^{\circ}$. Ainsi nous pouvons écrire l’inégalité $180(n-2) \leq 179n$, qui implique que $n \leq 360$.

Voyons si nous pouvons construire un polygone convexe avec $360$ côtés. Prenons sur un cercle 360 points tels que la distance entre deux points consécutifs soit toujours la même. Ces 360 points sont les sommets d’un polygone convexe à 360 côtés dont les angles mesurent

$\frac{180^\circ(360-2)}{360}=180^\circ -1^\circ=179^\circ.$

Par conséquent, le nombre maximal de côtés est bien 360.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Août 2016, 4e défi

    le 26 août à 08:26, par Bernard Hanquez

    Bonjour,

    Par tâtonnement je trouve 2239 et 2240.

    Répondre à ce message
    • Août 2016, 4e défi

      le 26 août à 08:34, par Al_louarn

      Oui et il n’y a pas d’autre solution.

      On cherche les nombres de la forme $n=10a+b$ avec deux contraintes :
      $10a + b - a=2016$, qu’on simplifie en $9a+b=2016$
      $0 \leq b \leq 9$, qui donne $9a \leq 9a+b \leq 9a+9$
      En combinant les contraintes on obtient :
      $9a \leq 2016 \leq 9a+9$
      $a \leq 224 \leq a+1$
      $223 \leq a \leq 224$
      Pour $a=223$ on obtient $b=9$, d’où $n=2239$.
      Pour $a=224$ on obtient $b=0$, d’où $n=2240$.

      Répondre à ce message
      • Août 2016, 4e défi

        le 26 août à 08:53, par Clément

        Très bonne démonstration.
        Pour faire plus court on peut aussi partir de 9a+b=2016 et continuer à réduire :
        9a = 2016 - b
        a = 224 - b/9

        Puis comme a doit être entier on a directement b = 0 ou b = 9, ce qui nous donne immédiatement les deux mêmes résultats sans passer par les inégalités.

        Répondre à ce message

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