Un défi par semaine

Août 2017, 1er défi

Le 4 août 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 31 :

Si on soustrait à un nombre à deux chiffres $x$ le nombre obtenu en échangeant ses chiffres, on obtient un cube. Combien y a-t-il de valeurs possibles pour $x$ ?

Solution du 4e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $x = \dfrac{27-9\sqrt{5}}{2}$.

PNG - 25.2 ko

Dans la partie inférieure de la figure à droite, nous obtenons un triangle isocèle dont les côtés sont $x$, $x$ et $12-2x$. Ce triangle peut être divisé en deux triangles rectangles de côtés $x$, $h$ et $6-x$. En utilisant le théorème de Pythagore dans un de ces triangles rectangles, nous obtenons :

$h^2=x^2-(6-x)^2=x^2-36+12x-x^2=12x-36,$

d’où $x=\frac{h^2+36}{12}$. Par ailleurs, dans la partie supérieure nous avons un autre triangle isocèle de côtés : $9$, $9$ et $12$ qui peut lui aussi se diviser en deux triangles rectangles de côtés : $9$, $6$ et $9-h$. En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore, nous obtenons :

$(9-h)^2 = 9^2-6^2$

$h^2-18h +36 = 0.$

En résolvant cette équation, nous avons :

$h = \frac{18 \pm \sqrt{18^2-8\times 18}}{2}$

$= \frac{18 \pm 6\sqrt{5}}{2},$

la valeur de $h$ est donc $h=9+3\sqrt{5}$ ou $h=9-3\sqrt{5}$. Mais puisque $h$ doit être inférieure à $9$, la seule valeur possible est $h=9-3\sqrt{5}$. Ainsi,

$x=\frac{(9-3\sqrt{5})^2+36}{12}=\frac{162-54\sqrt{5}}{12}=\frac{27-9\sqrt{5}}{2}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JAN MIKO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Août 2017, 1er défi

    le 4 août à 09:27, par Al_louarn

    $x=10a+b$, avec $0 < a \leq 9$ et $0 \leq b \leq 9$.
    La contrainte s’écrit $10a + b - 10b - a=n^3$, soit $3 \times 3 \times (a-b)=n^3$.
    Comme $|a-b| \leq 9$, les seules solutions pour $a-b$ sont $-3, 0, 3$, d’où les trois cas suivants :

    i) $b=a+3$ et $a=b-3$, d’où $0 < a \leq 6$, ce qui donne $6-0=6$ solutions pour $x=10a + a + 3 = 11a + 3$ :
    $14$, $25$, ..., $58$, $69$.

    ii) $a=b$, d’où $0 < a \leq 9$, ce qui donne $9-0=9$ solutions pour $x=10a+a=11a$ :
    $11$, $22$, ..., $88$, $99$.

    iii) $b=a-3$ et $a=b+3$, d’où $3 \leq a \leq 9$ ce qui donne $9-3+1=7$ solutions pour $x=10a + a - 3=11a - 3$ :
    $30$, $41$, $52$, ..., $85$, $96$.

    Donc il y a $6+9+7=22$ valeurs possibles pour $x$.

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    • Août 2017, 1er défi

      le 3 septembre à 19:33, par Papi JacK

      Pour ma part je trouve 24 solutions en comptant 00 et 03 soit :

      00 - 03 - 11 - 14 - 22 - 25 - 30 - 33 - 36 - 41 - 44 - 47 - 52 - 55 - 58 - 63 - 66 - 69 - 74 - 77 - 85 - 88 - 96 - 99

      Ce qui rejoint les 22 solutions proposées.

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  • Août 2017, 1er défi

    le 4 août à 15:27, par tschmoderer

    Soit $y$ un nombre à deux chiffres, posons $z=y-x$ tel que le renversé de $z$ soit un cube. Notons $\bar{z}$ ce renversé.

    Si j’interprète bien l’énoncé le nombre obtenu $z$ est à deux chiffres, on a donc neuf possibilités pour $\bar{z}$ : $\bar{E}=\{-64,-27,-8,-1,0,1,8,27,46\}$ et donc 9 possibilités pour $z$, qui sont (en ordre croissant) : $E=\{-80,-72,-46,-10,0,10,46,72,80\}$.

    Si on suppose $x>0$, en notant $P(n)$ l’ensemble des $x$ tel que $ y < n $ et $z$ appartient à $E$. Alors on voit facilement que :

    • $P(-80)=0$
    • $P(-72)=1$
      ...
    • $P(80)=8$
    • $P(99)=9$

    Et donc il y a $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$ possibilités pour $x$.

    On a supposé que $x>0$, le cas ou $x$ est de signe quelconque se déduit facilement du raisonnement précédent. Il est à noté que j’ai supposé que $x$ pouvais être un nombre à 3 chiffres, ce qui compte c’est que le résultat soit à deux chiffres.

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    • Août 2017, nouveau défi

      le 3 septembre à 19:08, par Papi JacK

      Voici un nouveau défi qui devrait vous intéresser :
      Suite numérique u telle que :
      u(0) = 2 et u(n+1) = (u(n) + 2 )/(2 u(n) + 1)
      Les termes de la suite sont des rationnels (sous forme de fraction irréductible) tels que la différence ente numérateur et dénominateur est alternativement 1 et -1 !
      Le démontrerez -vous ?

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  • Août 2017, 1er défi

    le 4 août à 15:29, par tschmoderer

    Soit $y$ un nombre à deux chiffres, posons $z=y-x$ tel que le renversé de $z$ soit un cube. Notons $\bar{z}$ ce renversé.

    Si j’interprète bien l’énoncé le nombre obtenu $z$ est à deux chiffres, on a donc neuf possibilités pour $\bar{z}$ : $\bar{E}=\{-64,-27,-8,-1,0,1,8,27,46\}$ et donc 9 possibilités pour $z$, qui sont (en ordre croissant) : $E=\{-80,-72,-46,-10,0,10,46,72,80\}$.

    Si on suppose $x>0$, en notant $P(n)$ l’ensemble des $x$ tel que $y < n $ et $z$ appartient à $E$. Alors on voit facilement que :

    • $P(-80)=0$
    • $P(-72)=1$
      ...
    • $P(80)=8$
    • $P(99)=9$

    Et donc il y a $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$ possibilités pour $x$.

    On a supposé que $x>0$, le cas ou $x$ est de signe quelconque se déduit facilement du raisonnement précédent. Il est à noté que j’ai supposé que $x$ pouvais être un nombre à 3 chiffres, ce qui compte c’est que le résultat soit à deux chiffres.

    Répondre à ce message
    • Août 2017, 1er défi

      le 5 août à 23:31, par drai.david

      Bonsoir,
      petite erreur de manipulation de ma part : le message du 5 août ci-dessous vous est personnellement destiné.
      Avec toute mes excuses...

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      • Août 2017, 1er défi

        le 7 août à 09:02, par tschmoderer

        Bonjour,
        Merci de votre message qui m’éclaire sur le problème que j’ai mal interprété.

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  • Août 2017, 1er défi

    le 5 août à 23:25, par drai.david

    Bonsoir,

    personnellement, je trouve le même résultat que Al_louarn (c’est-à-dire 22), et j’avoue n’avoir malheureusement pas compris un traitre mot de votre raisonnement...
    La première chose gênante me semble être que l’énoncé précise bien « un nombre à deux chiffres $x$ » et que vous avez « supposé que $x$ pouvait être un nombre à 3 chiffres ».
    La deuxième chose problématique est que, m’étant intéressé à la généralisation du problème pour des nombres $x$ à $n$ chiffres, il se trouve que je n’ai pas trouvé de $x$ à 3 chiffres autres que de la forme $\underline{aba}$ (il y en a donc 90, qui ajoutés aux 22 $x$ à deux chiffres donnent un total de 112 valeurs pour $x$)...

    En effet, posons $x=\underline{abc}$ et son renversé $\overline{x}=\underline{cba}$.
    On obtient $x-\overline{x}=100a+10b+c - (100c+10b+a)=99(a-c)=3^2\times 11(a-c)$.
    Or $x-\overline{x}$ doit être un cube. On voit donc que la seule possibilité est que $a=c$.
    En effet, dans le cas contraire, $⎜a-c⎜$ devrait valoir au moins $3\times 11^2=363$, ce qui est impossible, $a$ et $c$ étant des chiffres compris entre $0$ et $9$...

    Du coup, pourriez-vous m’exhiber un de vos $x$ qui ne soit pas dans la liste d’Al_louarn, mais que vous considérez tout de même comme solution au problème, et en m’expliquant pourquoi il est solution ?

    Merci d’avance,

    Cordialement.

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