Un défi par semaine

Août 2017, 1er défi

El 4 agosto 2017  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (8)
Leer el artículo en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 31 :

Si on soustrait à un nombre à deux chiffres $x$ le nombre obtenu en échangeant ses chiffres, on obtient un cube. Combien y a-t-il de valeurs possibles pour $x$ ?

Solution du 4e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $x = \dfrac{27-9\sqrt{5}}{2}$.

PNG - 25.2 KB

Dans la partie inférieure de la figure à droite, nous obtenons un triangle isocèle dont les côtés sont $x$, $x$ et $12-2x$. Ce triangle peut être divisé en deux triangles rectangles de côtés $x$, $h$ et $6-x$. En utilisant le théorème de Pythagore dans un de ces triangles rectangles, nous obtenons :

$h^2=x^2-(6-x)^2=x^2-36+12x-x^2=12x-36,$

d’où $x=\frac{h^2+36}{12}$. Par ailleurs, dans la partie supérieure nous avons un autre triangle isocèle de côtés : $9$, $9$ et $12$ qui peut lui aussi se diviser en deux triangles rectangles de côtés : $9$, $6$ et $9-h$. En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore, nous obtenons :

$(9-h)^2 = 9^2-6^2$

$h^2-18h +36 = 0.$

En résolvant cette équation, nous avons :

$h = \frac{18 \pm \sqrt{18^2-8\times 18}}{2}$

$= \frac{18 \pm 6\sqrt{5}}{2},$

la valeur de $h$ est donc $h=9+3\sqrt{5}$ ou $h=9-3\sqrt{5}$. Mais puisque $h$ doit être inférieure à $9$, la seule valeur possible est $h=9-3\sqrt{5}$. Ainsi,

$x=\frac{(9-3\sqrt{5})^2+36}{12}=\frac{162-54\sqrt{5}}{12}=\frac{27-9\sqrt{5}}{2}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Août 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Comentario sobre el artículo

  • Août 2017, 1er défi

    le 4 de agosto de 2017 à 09:27, par Al_louarn

    $x=10a+b$, avec $0 < a \leq 9$ et $0 \leq b \leq 9$.
    La contrainte s’écrit $10a + b - 10b - a=n^3$, soit $3 \times 3 \times (a-b)=n^3$.
    Comme $|a-b| \leq 9$, les seules solutions pour $a-b$ sont $-3, 0, 3$, d’où les trois cas suivants :

    i) $b=a+3$ et $a=b-3$, d’où $0 < a \leq 6$, ce qui donne $6-0=6$ solutions pour $x=10a + a + 3 = 11a + 3$ :
    $14$, $25$, ..., $58$, $69$.

    ii) $a=b$, d’où $0 < a \leq 9$, ce qui donne $9-0=9$ solutions pour $x=10a+a=11a$ :
    $11$, $22$, ..., $88$, $99$.

    iii) $b=a-3$ et $a=b+3$, d’où $3 \leq a \leq 9$ ce qui donne $9-3+1=7$ solutions pour $x=10a + a - 3=11a - 3$ :
    $30$, $41$, $52$, ..., $85$, $96$.

    Donc il y a $6+9+7=22$ valeurs possibles pour $x$.

    Répondre à ce message
    • Août 2017, 1er défi

      le 3 de septiembre de 2017 à 19:33, par Papi JacK

      Pour ma part je trouve 24 solutions en comptant 00 et 03 soit :

      00 - 03 - 11 - 14 - 22 - 25 - 30 - 33 - 36 - 41 - 44 - 47 - 52 - 55 - 58 - 63 - 66 - 69 - 74 - 77 - 85 - 88 - 96 - 99

      Ce qui rejoint les 22 solutions proposées.

      Répondre à ce message
  • Août 2017, 1er défi

    le 4 de agosto de 2017 à 15:27, par tschmoderer

    Soit $y$ un nombre à deux chiffres, posons $z=y-x$ tel que le renversé de $z$ soit un cube. Notons $\bar{z}$ ce renversé.

    Si j’interprète bien l’énoncé le nombre obtenu $z$ est à deux chiffres, on a donc neuf possibilités pour $\bar{z}$ : $\bar{E}=\{-64,-27,-8,-1,0,1,8,27,46\}$ et donc 9 possibilités pour $z$, qui sont (en ordre croissant) : $E=\{-80,-72,-46,-10,0,10,46,72,80\}$.

    Si on suppose $x>0$, en notant $P(n)$ l’ensemble des $x$ tel que $ y < n $ et $z$ appartient à $E$. Alors on voit facilement que :

    • $P(-80)=0$
    • $P(-72)=1$
      ...
    • $P(80)=8$
    • $P(99)=9$

    Et donc il y a $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$ possibilités pour $x$.

    On a supposé que $x>0$, le cas ou $x$ est de signe quelconque se déduit facilement du raisonnement précédent. Il est à noté que j’ai supposé que $x$ pouvais être un nombre à 3 chiffres, ce qui compte c’est que le résultat soit à deux chiffres.

    Répondre à ce message
    • Août 2017, nouveau défi

      le 3 de septiembre de 2017 à 19:08, par Papi JacK

      Voici un nouveau défi qui devrait vous intéresser :
      Suite numérique u telle que :
      u(0) = 2 et u(n+1) = (u(n) + 2 )/(2 u(n) + 1)
      Les termes de la suite sont des rationnels (sous forme de fraction irréductible) tels que la différence ente numérateur et dénominateur est alternativement 1 et -1 !
      Le démontrerez -vous ?

      Répondre à ce message
  • Août 2017, 1er défi

    le 4 de agosto de 2017 à 15:29, par tschmoderer

    Soit $y$ un nombre à deux chiffres, posons $z=y-x$ tel que le renversé de $z$ soit un cube. Notons $\bar{z}$ ce renversé.

    Si j’interprète bien l’énoncé le nombre obtenu $z$ est à deux chiffres, on a donc neuf possibilités pour $\bar{z}$ : $\bar{E}=\{-64,-27,-8,-1,0,1,8,27,46\}$ et donc 9 possibilités pour $z$, qui sont (en ordre croissant) : $E=\{-80,-72,-46,-10,0,10,46,72,80\}$.

    Si on suppose $x>0$, en notant $P(n)$ l’ensemble des $x$ tel que $y < n $ et $z$ appartient à $E$. Alors on voit facilement que :

    • $P(-80)=0$
    • $P(-72)=1$
      ...
    • $P(80)=8$
    • $P(99)=9$

    Et donc il y a $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$ possibilités pour $x$.

    On a supposé que $x>0$, le cas ou $x$ est de signe quelconque se déduit facilement du raisonnement précédent. Il est à noté que j’ai supposé que $x$ pouvais être un nombre à 3 chiffres, ce qui compte c’est que le résultat soit à deux chiffres.

    Répondre à ce message
    • Août 2017, 1er défi

      le 5 de agosto de 2017 à 23:31, par drai.david

      Bonsoir,
      petite erreur de manipulation de ma part : le message du 5 août ci-dessous vous est personnellement destiné.
      Avec toute mes excuses...

      Répondre à ce message
      • Août 2017, 1er défi

        le 7 de agosto de 2017 à 09:02, par tschmoderer

        Bonjour,
        Merci de votre message qui m’éclaire sur le problème que j’ai mal interprété.

        Répondre à ce message
  • Août 2017, 1er défi

    le 5 de agosto de 2017 à 23:25, par drai.david

    Bonsoir,

    personnellement, je trouve le même résultat que Al_louarn (c’est-à-dire 22), et j’avoue n’avoir malheureusement pas compris un traitre mot de votre raisonnement...
    La première chose gênante me semble être que l’énoncé précise bien «un nombre à deux chiffres $x$» et que vous avez «supposé que $x$ pouvait être un nombre à 3 chiffres».
    La deuxième chose problématique est que, m’étant intéressé à la généralisation du problème pour des nombres $x$ à $n$ chiffres, il se trouve que je n’ai pas trouvé de $x$ à 3 chiffres autres que de la forme $\underline{aba}$ (il y en a donc 90, qui ajoutés aux 22 $x$ à deux chiffres donnent un total de 112 valeurs pour $x$)...

    En effet, posons $x=\underline{abc}$ et son renversé $\overline{x}=\underline{cba}$.
    On obtient $x-\overline{x}=100a+10b+c - (100c+10b+a)=99(a-c)=3^2\times 11(a-c)$.
    Or $x-\overline{x}$ doit être un cube. On voit donc que la seule possibilité est que $a=c$.
    En effet, dans le cas contraire, $⎜a-c⎜$ devrait valoir au moins $3\times 11^2=363$, ce qui est impossible, $a$ et $c$ étant des chiffres compris entre $0$ et $9$...

    Du coup, pourriez-vous m’exhiber un de vos $x$ qui ne soit pas dans la liste d’Al_louarn, mais que vous considérez tout de même comme solution au problème, et en m’expliquant pourquoi il est solution ?

    Merci d’avance,

    Cordialement.

    Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.