Un défi par semaine

Août 2017, 1er défi

Le 4 août 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 31 :

Si on soustrait à un nombre à deux chiffres $x$ le nombre obtenu en échangeant ses chiffres, on obtient un cube. Combien y a-t-il de valeurs possibles pour $x$ ?

Solution du 4e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $x = \dfrac{27-9\sqrt{5}}{2}$.

PNG - 25.2 ko

Dans la partie inférieure de la figure à droite, nous obtenons un triangle isocèle dont les côtés sont $x$, $x$ et $12-2x$. Ce triangle peut être divisé en deux triangles rectangles de côtés $x$, $h$ et $6-x$. En utilisant le théorème de Pythagore dans un de ces triangles rectangles, nous obtenons :

$h^2=x^2-(6-x)^2=x^2-36+12x-x^2=12x-36,$

d’où $x=\frac{h^2+36}{12}$. Par ailleurs, dans la partie supérieure nous avons un autre triangle isocèle de côtés : $9$, $9$ et $12$ qui peut lui aussi se diviser en deux triangles rectangles de côtés : $9$, $6$ et $9-h$. En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore, nous obtenons :

$(9-h)^2 = 9^2-6^2$

$h^2-18h +36 = 0.$

En résolvant cette équation, nous avons :

$h = \frac{18 \pm \sqrt{18^2-8\times 18}}{2}$

$= \frac{18 \pm 6\sqrt{5}}{2},$

la valeur de $h$ est donc $h=9+3\sqrt{5}$ ou $h=9-3\sqrt{5}$. Mais puisque $h$ doit être inférieure à $9$, la seule valeur possible est $h=9-3\sqrt{5}$. Ainsi,

$x=\frac{(9-3\sqrt{5})^2+36}{12}=\frac{162-54\sqrt{5}}{12}=\frac{27-9\sqrt{5}}{2}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JAN MIKO / SHUTTERSTOCK

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  • Août 2017, 1er défi

    le 4 août 2017 à 09:27, par Al_louarn

    $x=10a+b$, avec $0 < a \leq 9$ et $0 \leq b \leq 9$.
    La contrainte s’écrit $10a + b - 10b - a=n^3$, soit $3 \times 3 \times (a-b)=n^3$.
    Comme $|a-b| \leq 9$, les seules solutions pour $a-b$ sont $-3, 0, 3$, d’où les trois cas suivants :

    i) $b=a+3$ et $a=b-3$, d’où $0 < a \leq 6$, ce qui donne $6-0=6$ solutions pour $x=10a + a + 3 = 11a + 3$ :
    $14$, $25$, ..., $58$, $69$.

    ii) $a=b$, d’où $0 < a \leq 9$, ce qui donne $9-0=9$ solutions pour $x=10a+a=11a$ :
    $11$, $22$, ..., $88$, $99$.

    iii) $b=a-3$ et $a=b+3$, d’où $3 \leq a \leq 9$ ce qui donne $9-3+1=7$ solutions pour $x=10a + a - 3=11a - 3$ :
    $30$, $41$, $52$, ..., $85$, $96$.

    Donc il y a $6+9+7=22$ valeurs possibles pour $x$.

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