Un défi par semaine

Août 2017, 1er défi

Le 4 août 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 31 :

Si on soustrait à un nombre à deux chiffres $x$ le nombre obtenu en échangeant ses chiffres, on obtient un cube. Combien y a-t-il de valeurs possibles pour $x$ ?

Solution du 4e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $x = \dfrac{27-9\sqrt{5}}{2}$.

PNG - 25.2 ko

Dans la partie inférieure de la figure à droite, nous obtenons un triangle isocèle dont les côtés sont $x$, $x$ et $12-2x$. Ce triangle peut être divisé en deux triangles rectangles de côtés $x$, $h$ et $6-x$. En utilisant le théorème de Pythagore dans un de ces triangles rectangles, nous obtenons :

$h^2=x^2-(6-x)^2=x^2-36+12x-x^2=12x-36,$

d’où $x=\frac{h^2+36}{12}$. Par ailleurs, dans la partie supérieure nous avons un autre triangle isocèle de côtés : $9$, $9$ et $12$ qui peut lui aussi se diviser en deux triangles rectangles de côtés : $9$, $6$ et $9-h$. En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore, nous obtenons :

$(9-h)^2 = 9^2-6^2$

$h^2-18h +36 = 0.$

En résolvant cette équation, nous avons :

$h = \frac{18 \pm \sqrt{18^2-8\times 18}}{2}$

$= \frac{18 \pm 6\sqrt{5}}{2},$

la valeur de $h$ est donc $h=9+3\sqrt{5}$ ou $h=9-3\sqrt{5}$. Mais puisque $h$ doit être inférieure à $9$, la seule valeur possible est $h=9-3\sqrt{5}$. Ainsi,

$x=\frac{(9-3\sqrt{5})^2+36}{12}=\frac{162-54\sqrt{5}}{12}=\frac{27-9\sqrt{5}}{2}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JAN MIKO / SHUTTERSTOCK

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  • Août 2017, 1er défi

    le 4 août 2017 à 15:27, par tschmoderer

    Soit $y$ un nombre à deux chiffres, posons $z=y-x$ tel que le renversé de $z$ soit un cube. Notons $\bar{z}$ ce renversé.

    Si j’interprète bien l’énoncé le nombre obtenu $z$ est à deux chiffres, on a donc neuf possibilités pour $\bar{z}$ : $\bar{E}=\{-64,-27,-8,-1,0,1,8,27,46\}$ et donc 9 possibilités pour $z$, qui sont (en ordre croissant) : $E=\{-80,-72,-46,-10,0,10,46,72,80\}$.

    Si on suppose $x>0$, en notant $P(n)$ l’ensemble des $x$ tel que $ y < n $ et $z$ appartient à $E$. Alors on voit facilement que :

    • $P(-80)=0$
    • $P(-72)=1$
      ...
    • $P(80)=8$
    • $P(99)=9$

    Et donc il y a $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$ possibilités pour $x$.

    On a supposé que $x>0$, le cas ou $x$ est de signe quelconque se déduit facilement du raisonnement précédent. Il est à noté que j’ai supposé que $x$ pouvais être un nombre à 3 chiffres, ce qui compte c’est que le résultat soit à deux chiffres.

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