Un défi par semaine

Août 2017, 1er défi

Le 4 août 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 31 :

Si on soustrait à un nombre à deux chiffres $x$ le nombre obtenu en échangeant ses chiffres, on obtient un cube. Combien y a-t-il de valeurs possibles pour $x$ ?

Solution du 4e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $x = \dfrac{27-9\sqrt{5}}{2}$.

PNG - 25.2 ko

Dans la partie inférieure de la figure à droite, nous obtenons un triangle isocèle dont les côtés sont $x$, $x$ et $12-2x$. Ce triangle peut être divisé en deux triangles rectangles de côtés $x$, $h$ et $6-x$. En utilisant le théorème de Pythagore dans un de ces triangles rectangles, nous obtenons :

$h^2=x^2-(6-x)^2=x^2-36+12x-x^2=12x-36,$

d’où $x=\frac{h^2+36}{12}$. Par ailleurs, dans la partie supérieure nous avons un autre triangle isocèle de côtés : $9$, $9$ et $12$ qui peut lui aussi se diviser en deux triangles rectangles de côtés : $9$, $6$ et $9-h$. En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore, nous obtenons :

$(9-h)^2 = 9^2-6^2$

$h^2-18h +36 = 0.$

En résolvant cette équation, nous avons :

$h = \frac{18 \pm \sqrt{18^2-8\times 18}}{2}$

$= \frac{18 \pm 6\sqrt{5}}{2},$

la valeur de $h$ est donc $h=9+3\sqrt{5}$ ou $h=9-3\sqrt{5}$. Mais puisque $h$ doit être inférieure à $9$, la seule valeur possible est $h=9-3\sqrt{5}$. Ainsi,

$x=\frac{(9-3\sqrt{5})^2+36}{12}=\frac{162-54\sqrt{5}}{12}=\frac{27-9\sqrt{5}}{2}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JAN MIKO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Août 2017, nouveau défi

    le 3 septembre 2017 à 19:08, par Papi JacK

    Voici un nouveau défi qui devrait vous intéresser :
    Suite numérique u telle que :
    u(0) = 2 et u(n+1) = (u(n) + 2 )/(2 u(n) + 1)
    Les termes de la suite sont des rationnels (sous forme de fraction irréductible) tels que la différence ente numérateur et dénominateur est alternativement 1 et -1 !
    Le démontrerez -vous ?

    Répondre à ce message

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