Un défi par semaine

Août 2017, 2e défi

Le 11 août 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 32 :

Trouver le nombre de racines réelles distinctes de l’équation :

$x^6 +2x^5+2x^4+ 2x^3+ 2x^2+2x +1=0$.

Solution du 1er défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $22$.

Écrivons $x$ sous la forme $10a+b$, avec $a$ et $b$ des chiffres. Nous avons alors $10a+b-(10b+a) =9(a-b)=n^3$, c’est-à-dire que $n^3$ est divisible par $3$, ce qui implique que $n$ est divisible par $3$. On peut donc écrire $n=3k$. En substituant $n$, nous avons $9(a-b)=27k^3$ et donc $a-b=3k^3$. Puisque $a$ et $b$ sont des chiffres et que $a\neq0$, nous savons que $-9 < a-b \leq 9$, d’où $-3 < k^3\leq 3$, ce qui implique que $k=0$ ou $k=\pm 1$.

Si $k=0$, nous avons $a=b$, les solutions sont donc : 11, 22, 33, $\ldots,$ 99.

Si $k=1$, nous avons $a-b=3$, les solutions sont donc : 30, 41, 52, 63, 74, 85 et 96.

Si $k=-1$, nous avons $a-b=-3$, les solutions sont donc : 14, 25, 36, 47, 58 et 69.

Il y a donc $22$ valeurs possibles pour le nombre $x$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JAN MIKO / SHUTTERSTOCK

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  • Août 2017, 2e défi

    le 11 août à 08:36, par Al_louarn

    En tâtonnant on voit que $-1$ est une racine donc on peut mettre $x+1$ en facteur et on obtient : $P(x)=x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x+1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$.
    On voit que $-1$ est encore une racine du polynome de degré 5. On obtient : $P(x)=(x+1)^2(x^4 + x^2 + 1)$. Pour tout $x$ on a $x^4 \geq 0$ et $x^2 \geq 0$ donc $x^4 + x^2 + 1 \geq 1$. Ce polynome n’a donc aucune racine réelle.
    Donc $-1$ est l’unique racine réelle de $P(x)$, et c’est une racine double.

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