Un défi par semaine

Août 2017, 2e défi

Le 11 août 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 32 :

Trouver le nombre de racines réelles distinctes de l’équation :

$x^6 +2x^5+2x^4+ 2x^3+ 2x^2+2x +1=0$.

Solution du 1er défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $22$.

Écrivons $x$ sous la forme $10a+b$, avec $a$ et $b$ des chiffres. Nous avons alors $10a+b-(10b+a) =9(a-b)=n^3$, c’est-à-dire que $n^3$ est divisible par $3$, ce qui implique que $n$ est divisible par $3$. On peut donc écrire $n=3k$. En substituant $n$, nous avons $9(a-b)=27k^3$ et donc $a-b=3k^3$. Puisque $a$ et $b$ sont des chiffres et que $a\neq0$, nous savons que $-9 < a-b \leq 9$, d’où $-3 < k^3\leq 3$, ce qui implique que $k=0$ ou $k=\pm 1$.

Si $k=0$, nous avons $a=b$, les solutions sont donc : 11, 22, 33, $\ldots,$ 99.

Si $k=1$, nous avons $a-b=3$, les solutions sont donc : 30, 41, 52, 63, 74, 85 et 96.

Si $k=-1$, nous avons $a-b=-3$, les solutions sont donc : 14, 25, 36, 47, 58 et 69.

Il y a donc $22$ valeurs possibles pour le nombre $x$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JAN MIKO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Août 2017, 2e défi

    le 11 août à 10:38, par Daniate

    Bonjour,

    Pour factoriser on peut scinder en ( x^6+x^5+...+x)+(x^5+x^4+...+1)=(x+1)(x^5+...+1). Ensuite utiliser la formule des suites géométriques (x+)(x^6-1)/(x-1) sans problème 1 n’étant pas solution. Ensuite (x+1)(x^3-1)(x^3+1)/(x-1). Les racines des deux facteurs en x^3 sont les racines cubiques de l’unité et de son opposé . Or elles sont imaginaires pures sauf 1 et -1. 1 étant exclu, -1 reste seul et en double.

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