Un défi par semaine

Août 2017, 2e défi

Le 11 août 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 32 :

Trouver le nombre de racines réelles distinctes de l’équation :

$x^6 +2x^5+2x^4+ 2x^3+ 2x^2+2x +1=0$.

Solution du 1er défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $22$.

Écrivons $x$ sous la forme $10a+b$, avec $a$ et $b$ des chiffres. Nous avons alors $10a+b-(10b+a) =9(a-b)=n^3$, c’est-à-dire que $n^3$ est divisible par $3$, ce qui implique que $n$ est divisible par $3$. On peut donc écrire $n=3k$. En substituant $n$, nous avons $9(a-b)=27k^3$ et donc $a-b=3k^3$. Puisque $a$ et $b$ sont des chiffres et que $a\neq0$, nous savons que $-9 < a-b \leq 9$, d’où $-3 < k^3\leq 3$, ce qui implique que $k=0$ ou $k=\pm 1$.

Si $k=0$, nous avons $a=b$, les solutions sont donc : 11, 22, 33, $\ldots,$ 99.

Si $k=1$, nous avons $a-b=3$, les solutions sont donc : 30, 41, 52, 63, 74, 85 et 96.

Si $k=-1$, nous avons $a-b=-3$, les solutions sont donc : 14, 25, 36, 47, 58 et 69.

Il y a donc $22$ valeurs possibles pour le nombre $x$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JAN MIKO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Août 2017, 2e défi

    le 11 août à 11:39, par drai.david

    Personnellement, j’ai conclu à partir de $P(1)=12$ et $P(x)=\frac{x+1}{x-1}(x^6-1)$ pour $x≠1$.
    On a ainsi toutes les racines en un clin d’oeil : $\left \{e^{i\frac{k\pi}{3}} , k=1..5\right\}$.
    Et $-1$ est bien racine double...

    Répondre à ce message

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