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Un défi par semaine

Août 2017, 3e défi

Le 18 août 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 33 :

En plaçant dans les cases des nombres premiers distincts et inférieurs à $20$, quel est le plus grand résultat entier possible ?

$\frac{\square+\square+\square+\square+\square+\square+\square}{\square}.$

Solution du 2e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est une racine.

L’équation $x^6 - 1 = 0$ a deux racines réelles : $1$ et $-1$. Comme on a une factorisation $x^6 - 1 = (x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$, on en déduit que l’équation $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 = 0$ n’a que la racine réelle $x=-1$ (on vérifie en effet directement que $x=1$ n’est pas une racine).

Remarquons alors que $x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+2x+1 = (x+1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$. Puisque les deux facteurs n’ont que la racine réelle $x=-1$, on en déduit que cela reste vrai de leur produit. L’équation de l’énoncé n’a donc qu’une seule racine réelle, à savoir $-1$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Août 2017, 3e défi

le 18 août 2017 à 09:29, par jokemath

La réponse est 10.
Il y a 8 nombres premiers inférieurs à 20. Ce sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.
Leur somme est 77 qui est 7x11
On en prend 7 et on divise par le huitième..
Le résultat entier le plus grand est obtenu en faisant cela avec 7, donc 77 moins 7, puis divisé par 7 donne 10.
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Août 2017, 3e défi

le 18 août 2017 à 09:52, par ROUX

Joli !
Votre théorème est : « La somme de (n-1) nombres entiers pris parmi n nombres entiers peut être divisible par le nombre entier restant, noté alors nr, si et seulement si la somme de ces n nombres entiers est un multiple de nr ».
Oui ?
Si par exemple je fais 2+3+5+7=17, je ne peux extraire aucun entier.
Si par exemple je fais 3+7+8+11+12+15=7*8 alors je peux extraire 7 et je sais alors que 3+8+11+12+15=49 est divisible par 7.
Vraiment joli !
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Août 2017, 3e défi

le 18 août 2017 à 12:41, par Niak

Rien de très étonnant, $S-a \equiv S \bmod{a}$. Ici on cherche $S-a \equiv 0 \bmod{a}$ donc $S\equiv 0 \bmod{a}$.
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Août 2017, 3e défi

le 19 août 2017 à 12:29, par ROUX

Ouah...
J’ai une somme S et je lui retire a de manière à ce que le résultat soit divisible par a ce qui s’écrit : S-a=k*a ou S=k’*a avec k’=k+1.
Je me le reformulais ;-)
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Août 2017, 3e défi

le 19 août 2017 à 18:05, par jokemath

Oui, l’histoire est tout à fait bien reformulée :-D
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Août 2017, 3e défi

le 18 août 2017 à 09:31, par ROUX

Huit cases et les nombres premiers inférieurs à 20 sont au nombre de huit.
Donc, en gros, j’en fais la somme puis je soustrais le plus petit nombre possible de manière à ce que le résultat soit divisible par le nombre soustrait.
Le plus petit nombre est 7 et la fraction obtenue est alors égale à 10.
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