Un défi par semaine

Août 2017, 4e défi

Le 27 août 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (24)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 34 :

Soient $a$ et $b$ des nombres entiers tels que $15>a >b >0$ et

$\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\dfrac{73}{3}.$

Trouver la valeur de $a-b$.

Solution du 3e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $10$.

Appelons $A$ le résultat du calcul. Les nombres premiers inférieurs à $20$ sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$, c’est-à-dire $8$ nombres en tout. Puisque nous avons $8$ cases, nous devons placer tous ces nombres.
Nous voulons que $A$ soit le plus grand possible, le numérateur de la fraction doit donc être le plus grand possible et le dénominateur le plus petit possible. La somme des huit nombres est $2+3+5+7+11+13+17+19=77$, donc on cherche $x$ parmi ces nombres tel que

$\frac{77-x}{x}=\frac{77}{x}-1$

soit le plus grand nombre entier possible. Comme le diviseur premier le plus petit de 77 est 7, la plus grande valeur entière pour le quotient est

$\frac{2+3+5+11+13+17+19}{7}=10.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Août 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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Image à la une - JAN MIKO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Août 2017, 4e défi

    le 27 août à 20:57, par drai.david

    Un tout petit programme pourrait faire l’affaire, mais faisons plutôt des maths...
    $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ donc $\frac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2}=\frac{(a-b)^2+3ab}{(a-b)^2}=1+\frac{3ab}{(a-b)^2}$.
    D’où $\frac{3ab}{(a-b)^2}=\frac{70}{3} \iff \frac{(a-b)^2}{3ab}=\frac{3}{70} \iff \frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{9}{70} \iff \frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}=\frac{9}{70}$
    $\iff \frac{a}{b}-\frac{149}{70}-\frac{b}{a}=0$.
    En posant $x=\frac{a}{b}$, on obtient $x^2-\frac{149}{70}x=1=0$, équation qui a deux solutions : $\frac{7}{10}$ et $\frac{10}{7}$.
    Comme $15>a>b>0$, alors $a=10$ et $b=7$, d’où $a-b=3$.

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    • Août 2017, 4e défi

      le 27 août à 21:23, par Bernard Hanquez

      Bravo, j’ai bien essayé de faire des vraies maths, mais mon côté informaticien m’a poussé vers VB (pour excel), alors voila le petit programme qui donne la solution (ligne 63).

      Sub Macro1()
      I = 1
      For A = 15 To 2 Step -1
      For B = A - 1 To 1 Step -1
      Cells(I, 1) = A
      Cells(I, 2) = B
      Cells(I, 3) = (A ^ 3 - B ^ 3) / (A - B) ^ 3
      I = I + 1
      Next B
      Next A
      End Sub

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    • Août 2017, 4e défi

      le 27 août à 23:29, par Lina

      Bonsoir
      Après la première ligne il suffit de multiplier 70 et 3 par 3n² pour obtenir ab=70n² et a-b=3n. Or le maximum de ab est 14x13 ce qui majore n² par 2,6. Cherchant des entiers il vient n=1 et a-b=3

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    • Août 2017, 4e défi

      le 27 août à 23:31, par Lina

      Bonsoir
      Après la première ligne il suffit de multiplier 70 et 3 par 3n² pour obtenir ab=70n² et a-b=3n. Or le maximum de ab est 14x13 ce qui majore n² par 2,6. Cherchant des entiers il vient n=1 et a-b=3

      Répondre à ce message
      • Août 2017, 4e défi

        le 28 août à 10:46, par drai.david

        Très bien vu, et beaucoup plus élégant que ma méthode dite « marteau-pilon » !

        Toutefois, votre méthode, dans le cas général d’une fraction irréductible p/q (au lieu de 73/3), ne prouve pas l’existence de a-b entier. Elle permet juste d’affirmer : « si a-b est entier, alors nécessairement a-b=3 ».

        Par exemple, avec 74/3 (au lieu de73/3), on obtient le système : ab=71n2 et a-b=3n.
        Il vient ensuite que si n est entier, alors nécessairement n=1.
        D’où $a=\frac{\sqrt{293}+3}{2}\approx 10,1$ et $b=\frac{\sqrt{293}-3}{2}\approx 7,1$ qui ne sont pas des entiers.
        Donc le problème n’a pas de solution...

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    • Août 2017, 4e défi

      le 28 août à 12:06, par Laurent

      Bonjour,

      Je suis parvenu à la même écriture d’égalité des fractions .

      Mais après avec un produit en croix on obtient ( a>b) : 9ab=70(a-b)^2

      Soit 3x3ab=7x5x2x(a-b)x(a-b)

      La décomposition des nombres entiers étant unique on obtient par identification a-b=3

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      • Août 2017, 4e défi

        le 28 août à 22:28, par Lina

        Bonsoir,
        Jolie méthode, encore plus simple que celle que je propose.

        Répondre à ce message
  • Août 2017, 4e défi

    le 27 août à 21:06, par drai.david

    Oups ! À l’avant-dernière ligne, il faut évidemment lire $x^2-\frac{149}{70}x+1=0$.

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  • Août 2017, 4e défi

    le 28 août à 01:50, par drai.david

    Les valeurs entières de $\frac{a^3-b^3}{a-b}$ sont tous les entiers de la forme $3n^2+3n+1$, $n \in \mathbb{N}$.

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  • Août 2017, 4e défi

    le 28 août à 02:24, par drai.david

    Généralisation :
    Supposons $\frac{a^3-b^3}{a-b}=\frac{p}{q}$ avec $a$ et $b$ entiers tels que $a>b>0$, $pgcd(a,b)=1$, $p$ et $q$ entiers tels que $p>q>0$ et $pgcd(p,q)=1$,
    En posant $x=\frac{a}{b}$, on obtient $x^2-\left ( 2+\frac{2p+q}{p-q} \right )x+1=0$.
    D’où $x=\frac{2p+q+\sqrt{3q(4p-q)}}{2(p-q)}=1+\frac{3q+\sqrt{3q(4p-q)}}{2(p-q)}=1+\frac{N}{D}$.
    Si $N \in \mathbb{N}$, on obtient finalement : $a-b=\frac{N}{pgcd(N,D)}$.

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    • Août 2017, 4e défi

      le 29 août à 14:34, par drai.david

      À la 3ligne ligne, il faut lire : $x^2-\left ( \frac{2p+q}{p-q} \right ) x+1=0$.

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    • Août 2017, 4e défi

      le 29 août à 16:55, par ruello

      pourquoi pgcd(a,b)=1 ?

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      • Août 2017, 4e défi

        le 29 août à 18:12, par drai.david

        Parce que dans l’énoncé d’origine, le fait que 15 soit un majorant de $a$ assurait l’unicité du résultat...
        Cette contrainte aurait élégamment pu être remplacée par $pgcd(a,b)=1$, ce qui me paraît moins arbitraire que ce 15 sorti de nulle part...
        D’ailleurs, en toute logique, la contrainte aurait dû être $20>a>b>0$, puisque ce n’est qu’à partir de 21 qu’on trouve une deuxième solution : $a-b=6$ avec $a=20$ et $b=14$...

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  • Août 2017, 4e défi

    le 28 août à 12:26, par drai.david

    Fait remarquable
    Si $p$ et $q$ sont premiers et tels que le problème précédent (généralisation) a une solution (i.e. des valeurs entières pour $a$ et $b$), alors $q=3$ et $p$ est de la forme $6k+1$...

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    • Août 2017, 4e défi

      le 29 août à 13:24, par drai.david

      Mieux : $p$ peut être n’importe quel nombre premier de la forme $n^2+n+1$.
      Et $n$ est alors forcément congru à 0 ou 2 modulo 3...

      Répondre à ce message
      • Août 2017, 4e défi

        le 29 août à 17:31, par ruello

        En utilisant la démarche décrite ci-dessous, on retrouve certains résultats que vous énoncez.
        q nombre premier
        a -b = k q
        b est alors solution de l’équation 3 b² + 3qkb + k²q(q-p) =0(1)
        le discriminant est 3k²q(4p-q)
        Si q = 3, cette équation a des solutions entières ssi 4p-3 est un carré .
        Posons 4p-3 = n² , p = ( n² + 3)/4. p est un entier ssi n est impair.( on considère n différent de 1)
        n = 2l + 1, p est alors de la forme l² + l + 1, ces entiers sont des multiples de trois ou sont congrus à 1 modulo 3, nombreux sont premiers.
        la solutions positive de (1) est k(n-3)/2 , d’où b= k(n-3)/2 et a= k(n + 3)/2.

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        • Août 2017, 4e défi

          le 29 août à 19:15, par drai.david

          « Nombreux sont premiers » : oui et non...
          On compte 37 607 912 018 nombres premiers inférieurs à 1012, dont environ la moitié la forme $6k+1$.
          ( En effet, j’ai fait une petite étude sur les nombres premiers inférieurs à 1 million, et il y en a 39 233 de la forme $6k+1$ et 39 265 de la forme $6k-1$, soit 49,98 % contre 50,02 %...)
          Rapporté au nombres d’entiers de la forme $6k+1$ inférieurs à à 1012, cela donne 11,3 %.

          Or les entiers $p$ de la forme $l^2+l+1$ ($l$ n’étant pas congru à 1 modulo 3 sinon $p$ est multiple de 3...) sont tous de la forme $6k+1$, et il y en a 666 666 inférieurs à 1012.
          Et comme je trouve que 88 117 d’entre eux sont premiers, cela nous donne une proportion de 13,2 %.

          Ce n’est donc pas beaucoup plus que 11,3 %...

          Mais mon plus gros problème, c’est que je n’arrive pas du tout à démontrer pourquoi $q=3$.
          Si vous avez une idée...

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        • Août 2017, 4e défi

          le 30 août à 09:02, par drai.david

          Pourquoi, si $p$ et $q$ sont premiers, alors $q=3$ ? J’ai la réponse !
          Repartons de $\frac{3ab}{(a-b)^2}=\frac{p-q}{q}$.
          S’il existe des couples d’entiers $(a;b)$ solutions, alors il en existe un tel que $a$ et $b$ soient premiers entre eux.
          Si $a$ est premier avec $b$, alors $a$ et $b$ sont tous deux premiers avec $a-b$, et $ab$ est premier avec $a-b$, donc avec $(a-b)^2$.
          1. Si $a-b$ n’est pas multiple de 3, alors $3ab$ est premier avec $(a-b)^2$, donc $\frac{3ab}{(a-b)^2}$ est irréductible. Comme $\frac{p-q}{q}$ est aussi irréductible, alors $q$ est un carré. Or $q$ est premier.
          Donc on aboutit à une contradiction. Ainsi, $a-b$ est multiple de 3.
          2. Si $a-b=3k$, alors $\frac{3ab}{(a-b)^2}=\frac{ab}{3k^2}$.
          Comme $a$ et $b$ sont premiers avec $a-b$, ils sont premiers avec $3k$, donc avec $3k^2$.
          Ainsi, $\frac{ab}{3k^2}$ est irréductible.
          On en déduit que $q=3k^2$, et comme $q$ est premier, $k=1$ et $\boxed{q=3}$ !

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  • Août 2017, 4e défi

    le 28 août à 19:05, par ruello

    autre proposition :
    a-b <15
    On a 3( a^3-b^3) = 73 ( a-b)^3, pgcd(3,73)=1 donc 3 divise (a-b)^3, et comme 3 est premier 3 divise donc a-b.
    a -b = 3 ou 9 ou 12.
    mais ( a-b)^3 = 3( a^3-b^3)/73 < ou égal 3*14^3/73<113, seul a -b = 3 peut convenir.
    si a - b = 3 alors a = b+3, on obtient ainsi l’équation b² +3b -70 = 0, cette équation admet 7 comme solution et donc a = 10.
    On vérifie aisément que ces solutions conviennent.
    donc a-b = 3 avec a = 10 et b =7
    Rmq :
    si a-b = 12, on obtient b² +12b -1120 = 0, cette équation a une solution entière positive, b =28 donc a = 40 mais ces nombres sont supérieurs à 15.

    Répondre à ce message
    • Août 2017, 4e défi

      le 29 août à 16:52, par ruello

      Recherche des couples d’entiers (a,b) solution de l’équation de départ :
      On peut raisonner de la même façon :
      a-b = 3k, k entier naturel,
      b est solution de l’équation b² +3kb -70 k² =0
      d’où b = 7k et a = 10k.

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  • Août 2017, 4e défi

    le 28 août à 23:05, par Goubert

    3x(a³-b³)=73(a-b)³
    3x(a-b)³-9(ab²-a²b)=73(a-b)³
    70(a-b)³= 9ab(a-b)
    (a-b)²=9ab/70
    En décomposant 70 = 7 x 5 x 2
    9 n’est pas divisible par 7, 5 ou 2 donc ab doit l’être : (a,b) = (14,5) ou (10,7)
    d’où (a-b)² =9
    donc a-b= 3

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  • Août 2017, 4e défi

    le 30 août à 09:28, par pogarreau

    Intéressant, la plupart des commentaires cherchent a et b pour déterminer leur différence. Ici sans connaitre les valeurs de a et b, on peut trouver a-b. Après développement de la fraction on obtient :
    (a-b)² / ab = 3² / 70
    a et b étant entiers, 3 non divisible par 7 ou 2 ou 5, on en déduit que a-b=3

    Note : Pour trouver a et b, il suffit d’appliquer x²-Px+S=0 avec P=(-a)b=70 et S=(-a) +b=3.

    Répondre à ce message
    • Août 2017, 4e défi

      le 31 août à 17:03, par ROUX

      Si Ana avait proposé 71/3, on aurait trouvé (a-b)^2/(a*b)=3^2/68.
      Vous auriez pu dire que 3 n’était pas divisible par 2 ou 4 ou 17 : auriez-vous pu en déduire qu’alors (a-b)=3 ?
      a et b tels que a-b=3 et a*b=68 existent-ils entiers ?
      Je suis le physicien de service qui parfois peine dans les raccourcis prodigieux des mathématicien.ne.s.
      En gros, là, de loin, pour tout dire et tenter de le dire pas trop mal, il me semble que votre raisonnement est faux...

      Répondre à ce message
      • Août 2017, 4e défi

        le 31 août à 17:57, par pogarreau

        Effectivement, le fait que a et b soient entiers demande à les déterminer.

        Répondre à ce message

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